【2025.10.17NOIP模拟】位集（wj）

题目描述

定义大小为 m 的 bitset 为长度为 m 的 bool 数组。

对大小为 m 的 bitset 定义如下四种运算：

• c=a and b：在这里，如果 ai​=1 且 bi​=1，则 ci​=1；否则 ci​=0。
• c=a or b：在这里，如果 ai​=1 或 bi​=1，则 ci​=1；否则 ci​=0。
• c=a xor b：在这里，如果 ai​ 和 bi​ 中恰好有一个为 1，则 ci​=1；否则 ci​=0。
• c=not a：在这里，如果 ai​=0，则 ci​=1；否则 ci​=0。

给定一个大小为 n 的 bitset 数组 s1​,s2​,…,sn​，编写程序来回答 k 个查询，每次查询给定 l,r，你需要使用以下公式计算 t：

• t=(sl​ and sl+1​ and ⋯ and sr​) xor (not (sl​ or sl+1​ or ⋯ or sr​))

求 t 中 1 的个数。

输入

从文件 wj.in 中读入数据。

第一行包含两个整数 n 和 m (1≤n,m≤105; n⋅m≤106)。接下来的 n 行描述了 n 个 bitset，每行由 m 个 0 或 1 组成，表示一个 bitset。

接下来的一行包含一个整数 k，表示查询的数量 (1≤k≤2×106)。

接下来的一行包含三个整数 x,y,z (1≤x,y,z≤109)。

查询是通过以 x,y,z 为参数的伪随机算法生成的，具体来说，考虑生成长度为 k 的序列 a,b：

• a1​=1。
• b1​=n。
• 对于 i>1，ai​=(ai−1​⋅x+qi−1​⋅y+z)modn+1。
• 对于 i>1，bi​=(bi−1​⋅y+qi−1​⋅z+x)modn+1。

其中，第 i 个询问的 l 是 min{ai​,bi​}，r 是 max{ai​,bi​}，公式里的 qi−1​ 表示第 i−1 个询问的答案。

输出

输出到文件 wj.out 中。

输出一个整数表示所有查询答案的总和。

样例数据

输入 #1 复制

4 10
1010110101
0101111001
1101101101
1011010000
4
10 5 4

输出 #1 复制

9

数据范围限制

对于所有数据，有：

• 1≤n,m≤105
• nm≤106
• 1≤k≤2×106
• 1≤x,y,z≤109

子任务：

子任务编号	特殊性质	分值
1	n,m≤20,k≤50	40
2	m=1	20
3	k≤1×105	20
4	y=z=0	10
5	无	10

提示

样例解释

询问编号	l	r	答案
1	1	4	1
2	3	4	3
3	2	4	2
4	1	3	3

思路

首先，看到区间操作，考虑线段树维护。

可以发现，其实是维护全是1数量与全是0数量之和。

考虑线段树，对每种颜色区间合并，复杂度O(nmlogn+qmlogn)：

代码见下O(nmlogn+qmlogn)：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,q,x,y,z,l,r,a1,b1,nm,lk=0,kl=0;
struct one{
	vector<bool> v;
}cd;
char s[1000006];
int te[400005],te2[4000006];
int te1[400005],te12[4000006];
inline void bu(int a1,int l,int r){
	if(l==r){
		int dm=0;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			if(s[(l-1)*m+i]=='1'){
				te[a1]++;
			}
			te2[(i-1)*nm+a1]=(int)(s[(l-1)*m+i]-'0');
		}
		return ;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	bu(a1*2,l,mid);
	bu(a1*2+1,mid+1,r);
	int dm=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(te2[(i-1)*nm+a1*2]==1&&te2[(i-1)*nm+a1*2+1]==1){
			te[a1]++;
			te2[(i-1)*nm+a1]=1;
		}
		else{
			te2[(i-1)*nm+a1]=0;
		}
	}	
	return ;
}
inline one co(int a1,int l,int r,int x,int y){
	if(l>=x&&r<=y){
		one dbdb;
		dbdb.v.resize(m);
		for(int i=1;i<=m;i++){
			dbdb.v[i-1]=te2[(i-1)*nm+a1];
		}
		return dbdb;
	}
	int mid=(l+r)/2,utut=0;
	one dbdb,ckck;
	dbdb.v.resize(m);
	if(x<=mid){
		utut=1;
		dbdb=co(a1*2,l,mid,x,y);
	}
	if(y>=mid+1){
		if(utut==0){
			dbdb=co(a1*2+1,mid+1,r,x,y);
		}
		else{
			ckck.v.resize(m);
			ckck=co(a1*2+1,mid+1,r,x,y);
			for(int i=0;i<m;i++){
				if(dbdb.v[i]==1&&ckck.v[i]==1){
					dbdb.v[i]=1;
				}
				else{
					dbdb.v[i]=0;
				}
			}
		}
	}
	return dbdb;
}
inline void bu2(int a1,int l,int r){
	if(l==r){
		int dm=0;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			if(s[(l-1)*m+i]=='0'){
				te1[a1]++;
			}
			te12[(i-1)*nm+a1]=(int)(s[(l-1)*m+i]-'0');
		}
		return ;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	bu2(a1*2,l,mid);
	bu2(a1*2+1,mid+1,r);
	int dm=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(te12[(i-1)*nm+a1*2]==0&&te12[(i-1)*nm+a1*2+1]==0){
			te1[a1]++;
			te12[(i-1)*nm+a1]=0;
		}
		else{
			te12[(i-1)*nm+a1]=1;
		}
	}	
	return ;
}
inline one co2(int a1,int l,int r,int x,int y){
	if(l>=x&&r<=y){
		one dbdb;
		dbdb.v.resize(m);
		for(int i=1;i<=m;i++){
			dbdb.v[i-1]=te12[(i-1)*nm+a1];
		}
		return dbdb;
	}
	int mid=(l+r)/2,utut=0;
	one dbdb,ckck;
	dbdb.v.resize(m);
	if(x<=mid){
		utut=1;
		dbdb=co2(a1*2,l,mid,x,y);
	}
	if(y>=mid+1){
		if(utut==0){
			dbdb=co2(a1*2+1,mid+1,r,x,y);
		}
		else{
			ckck.v.resize(m);
			ckck=co2(a1*2+1,mid+1,r,x,y);
			for(int i=0;i<m;i++){
				if(dbdb.v[i]==0&&ckck.v[i]==0){
					dbdb.v[i]=0;
				}
				else{
					dbdb.v[i]=1;
				}
			}
		}
	}
	return dbdb;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); 
    cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	for(int j=1;j<=m;j++){
    		cin>>s[(i-1)*m+j];
		}
	}
	nm=4*n;
	bu(1,1,n);
	bu2(1,1,n);
	a1=1;
	b1=n;
	cin>>q;
	cin>>x>>y>>z;
	lk=0;
	cd.v.resize(m);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		l=min(a1,b1);
		r=max(a1,b1);
		//cout<<l<<" "<<r<<endl;
		cd=co(1,1,n,l,r);
		kl=0;
		for(int j=0;j<m;j++){
			if(cd.v[j]==1){
				lk++;
				kl++;
			}
		}
		cd=co2(1,1,n,l,r);
		for(int j=0;j<m;j++){
			if(cd.v[j]==0){
				lk++;
				kl++;
			}
		}	
		//cout<<kl<<endl;
		a1=(a1*x+kl*y+z)%n+1;
		b1=(b1*y+kl*z+x)%n+1;	
	}
	cout<<lk<<'\n';
    return 0;
}

注意到全是1数量与全是0数量之和，考虑前缀和，最后查询m次，去除logn，复杂度O(nm+qm)：

代码见下O(nm+qm)：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,q,x,y,z,l,r,a1,b1,nm,lk=0,kl=0;
char s[1000006];
int ss[1000006];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); 
    cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	for(int j=1;j<=m;j++){
    		cin>>s[(i-1)*m+j];
		}
	}
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	for(int j=1;j<=m;j++){
    		if(i==1){
    			ss[(j-1)*n+i]=(long long)(s[(i-1)*m+j]-'0');
			}
    		else{
    			ss[(j-1)*n+i]=ss[(j-1)*n+i-1]+(long long)(s[(i-1)*m+j]-'0');
			}
		}
	}
	a1=1;
	b1=n;
	cin>>q;
	cin>>x>>y>>z;
	lk=0;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		l=min(a1,b1);
		r=max(a1,b1);
		kl=0;
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(l==1){
				if(ss[(j-1)*n+r]==r||ss[(j-1)*n+r]==0){
					lk++;
					kl++;
				}
			}
			else{
				if(ss[(j-1)*n+r]-ss[(j-1)*n+l-1]==r-l+1||ss[(j-1)*n+r]-ss[(j-1)*n+l-1]==0){
					lk++;
					kl++;
				}				
			}
		}
		//cout<<l<<" "<<r<<endl;
		//cout<<kl<<endl;
		a1=(a1*x+kl*y+z)%n+1;
		b1=(b1*y+kl*z+x)%n+1;	
	}
	cout<<lk<<'\n';
    return 0;
}

发现qm会超时，思考如何消除m，可以查找对于每一个位置，从它开始，至多到多少才能达到a，复杂度O(nmlogn+qlogm)：

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,q,x,y,z,l,r,a1,b1,nm,lk=0,kl=0;
char s[1000006];
long long ss[1000006],dl[1000006],sd[100005],sf=0;
int main(){
//	freopen("wj.in","r",stdin);
//	freopen("wj.out","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	for(int j=1;j<=m;j++){
    		cin>>s[(i-1)*m+j];
		}
	}
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	for(int j=1;j<=m;j++){
    		if(i==1){
    			ss[(j-1)*n+i]=(long long)(s[(i-1)*m+j]-'0');
			}
    		else{
    			ss[(j-1)*n+i]=ss[(j-1)*n+i-1]+(long long)(s[(i-1)*m+j]-'0');
			}
		}
	}
	for(int j=1;j<=m;j++){
		sf=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){	
			if(i!=1){
				while(sf+1<=n&&(ss[(j-1)*n+sf+1]-ss[(j-1)*n+i-1]==0||ss[(j-1)*n+sf+1]-ss[(j-1)*n+i-1]==sf+1-i+1)){
					sf++;
				}			
			}
			else{
				while(sf+1<=n&&(ss[(j-1)*n+sf+1]==0||ss[(j-1)*n+sf+1]==sf+1-i+1)){
					sf++;
				}				
			}
			dl[(i-1)*m+j]=sf;
			//cout<<j<<" "<<i<<" "<<sf<<" "<<ss[(j-1)*n+sf]<<" "<<ss[(j-1)*n+i]<<endl;
		}	
	}	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sort(dl+(i-1)*m+1,dl+i*m+1);
//		for(int j=1;j<=m;j++){
//			cout<<dl[(i-1)*m+j]<<" ";
//		}
//		cout<<endl;
	}	
	a1=1;
	b1=n;
	cin>>q;
	cin>>x>>y>>z;
	lk=0;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		l=min(a1,b1);
		r=max(a1,b1);
		long long ll=1,rr=m;
		kl=m+1;
		while(ll<=rr){
			long long mid=(ll+rr)/2;
			if(r<=dl[(l-1)*m+mid]){
				kl=min(kl,mid);
				rr=mid-1;
			}
			else{
				ll=mid+1;
			}
			//cout<<mid<<" "<<dl[(l-1)*m+mid]<<endl;
		}
		kl=m-kl+1;
		lk+=kl;
		//cout<<kl<<endl;
		a1=(a1*x+kl*y+z)%n+1;
		b1=(b1*y+kl*z+x)%n+1;	
	}
	cout<<lk<<'\n';
    return 0;
}