AT_dp_r Walk题解

题目描述

给定一个有 N 个顶点的简单有向图 G。顶点编号为 1,2,…,N。

对于每一对 i,j（1≤i,j≤N），是否存在从顶点 i 到顶点 j 的有向边由整数 ai,j​ 给出。若 ai,j​=1，则表示存在从 i 到 j 的有向边；若 ai,j​=0，则不存在。

请问在图 G 中，长度为 K 的有向路径共有多少条？请输出答案对 109+7 取模的结果。注意，可以多次经过同一条边的路径也要计入。

输入格式

输入通过标准输入给出，格式如下：

N K a1,1​ … a1,N​ : aN,1​ … aN,N​

输出格式

请输出图 G 中长度为 K 的有向路径的总数，对 109+7 取模。

显示翻译

题意翻译

输入输出样例

输入 #1复制

4 2
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
1 0 0 0

输出 #1复制

6

输入 #2复制

3 3
0 1 0
1 0 1
0 0 0

输出 #2复制

3

输入 #3复制

6 2
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0

输出 #3复制

1

输入 #4复制

1 1
0

输出 #4复制

0

输入 #5复制

10 1000000000000000000
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 1 0 1
1 1 1 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 1 0 1 1 1
0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

输出 #5复制

957538352

说明/提示

限制条件

• 所有输入均为整数。
• 1≤N≤50
• 1≤K≤1018
• ai,j​ 仅为 0 或 1。
• ai,i​=0

样例解释 1

图 G 如下所示。
 

长度为 2 的有向路径共有如下 6 条：

• 1→2→3
• 1→2→4
• 2→3→4
• 2→4→1
• 3→4→1
• 4→1→2

样例解释 2

图 G 如下所示。
 

长度为 3 的有向路径共有如下 3 条：

• 1→2→1→2
• 2→1→2→1
• 2→1→2→3

样例解释 3

图 G 如下所示。
 

长度为 2 的有向路径共有如下 1 条：

• 4→5→6

样例解释 5

请不要忘记将答案对 109+7 取模。

由 ChatGPT 4.1 翻译

思路

用矩阵优化即可。

代码见下

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
long long n,m,mod=1e9+7,lk=0;
struct mat{
	long long a[105][105];
}a,b;
mat kc(mat c1,mat c2){
	mat c;
	memset(c.a,0,sizeof(c.a));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=1;k<=n;k++){
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+c1.a[i][k]*c2.a[k][j])%mod;
			}
		}
	}
	return c;
}
mat abc(mat a2,long long m2){
	mat b2;
	memset(b2.a,0,sizeof(b2.a));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		b2.a[i][i]=1;
	}
	while(m2!=0){
		if(m2%2==1){
			b2=kc(b2,a2);
		}
		a2=kc(a2,a2);
		m2/=2;
	}
	return b2;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>a.a[i][j];
		}
	}
	b=abc(a,m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
            lk=(lk+b.a[i][j])%mod;
		}
	}
    cout<<lk<<endl;
	return 0; 	
}