P9869 [NOIP2023] 三值逻辑题解

题目描述

小 L 今天学习了 Kleene 三值逻辑。

在三值逻辑中，一个变量的值可能为：真（True，简写作 T）、假（False，简写作 F）或未确定（Unknown，简写作 U）。

在三值逻辑上也可以定义逻辑运算。由于小 L 学习进度很慢，只掌握了逻辑非运算 ¬，其运算法则为：

¬T=F,¬F=T,¬U=U.

现在小 L 有 n 个三值逻辑变量 x1​,⋯,xn​。小 L 想进行一些有趣的尝试，于是他写下了 m 条语句。语句有以下三种类型，其中 ← 表示赋值：

1. xi​←v，其中 v 为 T,F,U 的一种；
2. xi​←xj​；
3. xi​←¬xj​。

一开始，小 L 会给这些变量赋初值，然后按顺序运行这 m 条语句。

小 L 希望执行了所有语句后，所有变量的最终值与初值都相等。在此前提下，小 L 希望初值中 Unknown 的变量尽可能少。

在本题中，你需要帮助小 L 找到 Unknown 变量个数最少的赋初值方案，使得执行了所有语句后所有变量的最终值和初始值相等。小 L 保证，至少对于本题的所有测试用例，这样的赋初值方案都必然是存在的。

输入格式

本题的测试点包含有多组测试数据。

输入的第一行包含两个整数 c 和 t，分别表示测试点编号和测试数据组数。对于样例，c 表示该样例与测试点 c 拥有相同的限制条件。

接下来，对于每组测试数据：

• 输入的第一行包含两个整数 n 和 m，分别表示变量个数和语句条数。
• 接下来 m 行，按运行顺序给出每条语句。
  • 输入的第一个字符 v 描述这条语句的类型。保证 v 为 TFU+- 的其中一种。
  • 若 v 为 TFU 的某一种时，接下来给出一个整数 i，表示该语句为 xi​←v；
  • 若 v 为 +，接下来给出两个整数 i,j，表示该语句为 xi​←xj​；
  • 若 v 为 -，接下来给出两个整数 i,j，表示该语句为 xi​←¬xj​。

输出格式

对于每组测试数据输出一行一个整数，表示所有符合条件的赋初值方案中，Unknown 变量个数的最小值。

输入输出样例

输入 #1复制

1 3
3 3
- 2 1
- 3 2
+ 1 3
3 3
- 2 1
- 3 2
- 1 3
2 2
T 2
U 2

输出 #1复制

0
3
1

说明/提示

【样例解释 #1】

第一组测试数据中，m 行语句依次为

• x2​←¬x1​；
• x3​←¬x2​；
• x1​←x3​。

一组合法的赋初值方案为 x1​=T,x2​=F,x3​=T，共有 0 个Unknown 变量。因为不存在赋初值方案中有小于 0 个Unknown 变量，故输出为 0。

第二组测试数据中，m 行语句依次为

• x2​←¬x1​；
• x3​←¬x2​；
• x1​←¬x3​。

唯一的赋初值方案为 x1​=x2​=x3​=U，共有 3 个Unknown 变量，故输出为 3。

第三组测试数据中，m 行语句依次为

• x2​←T；
• x2​←U；

一个最小化 Unknown 变量个数的赋初值方案为 x1​=T,x2​=U。x1​=x2​=U 也是一个合法的方案，但它没有最小化 Unknown 变量的个数。

【样例解释 #2】

该组样例满足测试点 2 的条件。

【样例解释 #3】

该组样例满足测试点 5 的条件。

【样例解释 #4】

该组样例满足测试点 8 的条件。

【数据范围】

对于所有测试数据，保证：

• 1≤t≤6，1≤n,m≤105；
• 对于每个操作，v 为 TFU+- 中的某个字符，1≤i,j≤n。

测试点编号	n,m≤	v 可能的取值
1,2	10	TFU+−
3	103	TFU
4	105	TFU
5	103	U+
6	105	U+
7	103	+−
8	105	+−
9	103	TFU+−
10	105	TFU+−

附件下载

tribool.zip2.20MB

思路

参照了luogu的题解，并查集维护。

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long c,t,n,m,fa[100005],tt=1e5+1,ff=-1e5-1,a,b,lk=0;
char ch[100005];
bool bo[300005];
long long find(long long x){
 	long long dd=0;
	if(x==tt||x==ff){
        dd=x;
    }
	else if(bo[n-x]||x==0){
        dd=0;
    }
	else if(bo[x+n]){
        dd=tt;
    }
	else if(x<0){
		if(x==-fa[-x]) dd=x;
		else{
			bo[x+n]=1;
			dd=find(-fa[-x]);
			bo[x+n]=0;
		}
	} 
    else{
		if(x==fa[x]){
            dd=x;
        }
		else{
			bo[x+n]=1;
			dd=fa[x]=find(fa[x]);
			bo[x+n]=0;
		}
	}
	return dd;   
}
int main(){
    cin>>c>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>m;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            fa[i]=i;
        }
        for(int i=1;i<=m;i++){
            cin>>ch[i];
            if(ch[i]=='T'){
                cin>>a;
                fa[a]=tt;
            }
            else if(ch[i]=='F'){
                cin>>a;
                fa[a]=ff;
            }
            else if(ch[i]=='U'){
                cin>>a;
                fa[a]=0;
            }
            else{
                cin>>a>>b;
                if(ch[i]=='+'){
                    fa[a]=fa[b];
                }
                else{
                    fa[a]=-fa[b];
                }
            }
        }
        lk=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(find(i)==0){
                lk++;
            }
        }
        cout<<lk<<endl;
    }
    return 0;
}