P8865 [NOIP2022] 种花题解

题目描述

小 C 决定在他的花园里种出 CCF 字样的图案，因此他想知道 C 和 F 两个字母各自有多少种种花的方案；不幸的是，花园中有一些土坑，这些位置无法种花，因此他希望你能帮助他解决这个问题。

花园可以看作有 n×m 个位置的网格图，从上到下分别为第 1 到第 n 行，从左到右分别为第 1 列到第 m 列，其中每个位置有可能是土坑，也有可能不是，可以用 ai,j​=1 表示第 i 行第 j 列这个位置有土坑，否则用 ai,j​=0 表示这个位置没土坑。

一种种花方案被称为 C- 形的，如果存在 x1​,x2​∈[1,n]，以及 y0​,y1​,y2​∈[1,m]，满足 x1​+1<x2​，并且 y0​<y1​,y2​≤m，使得第 x1​ 行的第 y0​ 到第 y1​ 列、第 x2​ 行的第 y0​ 到第 y2​ 列以及第 y0​ 列的第 x1​ 到第 x2​ 行都不为土坑，且只在上述这些位置上种花。

一种种花方案被称为 F- 形的，如果存在 x1​,x2​,x3​∈[1,n]，以及 y0​,y1​,y2​∈[1,m]，满足 x1​+1<x2​<x3​，并且 y0​<y1​,y2​≤m，使得第 x1​ 行的第 y0​ 到第 y1​ 列、第 x2​ 行的第 y0​ 到第 y2​ 列以及第 y0​ 列的第 x1​ 到第 x3​ 行都不为土坑，且只在上述这些位置上种花。

样例一解释中给出了 C- 形和 F- 形种花方案的图案示例。

现在小 C 想知道，给定 n,m 以及表示每个位置是否为土坑的值 {ai,j​}，C- 形和 F- 形种花方案分别有多少种可能？由于答案可能非常之大，你只需要输出其对 998244353 取模的结果即可，具体输出结果请看输出格式部分。

输入格式

第一行包含两个整数 T,id，分别表示数据组数和测试点编号。如果数据为样例则保证 id=0。

接下来一共 T 组数据，在每组数据中：

第一行包含四个整数 n,m,c,f，其中 n,m 分别表示花园的行数、列数，对于 c,f 的含义见输出格式部分。

接下来 n 行，每行包含一个长度为 m 且仅包含 0 和 1 的字符串，其中第 i 个串的第 j 个字符表示 ai,j​，即花园里的第 i 行第 j 列是不是一个土坑。

输出格式

设花园中 C- 形和 F- 形的种花方案分别有 VC​ 和 VF​ 种，则你需要对每一组数据输出一行用一个空格隔开的两个非负整数，分别表示 (c×VC​)mod998244353，(f×VF​)mod998244353 ，其中 amodP 表示 a 对 P 取模后的结果。

输入输出样例

输入 #1复制

1 0
4 3 1 1
001
010
000
000

输出 #1复制

4 2

说明/提示

【样例 1 解释】

四个 C- 形种花方案为：

**1 **1 **1 **1
*10 *10 *10 *10
**0 *** *00 *00
000 000 **0 ***

其中 * 表示在这个位置种花。注意 C 的两横可以不一样长。

类似的，两个 F- 形种花方案为：

**1 **1
*10 *10
**0 ***
*00 *00

【样例 2】

见附件下的 plant/plant2.in 与 plant/plant2.ans。

【样例 3】

见附件下的 plant/plant3.in 与 plant/plant3.ans。

【数据范围】

对于所有数据，保证：1≤T≤5，1≤n,m≤103，0≤c,f≤1，ai,j​∈{0,1}。

测试点编号	n	m	c=	f=	特殊性质	测试点分值
1	≤1000	≤1000	0	0	无	1
2	=3	=2	1	1	无	2
3	=4	=2	1	1	无	3
4	≤1000	=2	1	1	无	4
5	≤1000	≤1000	1	1	A	4
6	≤1000	≤1000	1	1	B	6
7	≤10	≤10	1	1	无	10
8	≤20	≤20	1	1	无	6
9	≤30	≤30	1	1	无	6
10	≤50	≤50	1	1	无	8
11	≤100	≤100	1	1	无	10
12	≤200	≤200	1	1	无	6
13	≤300	≤300	1	1	无	6
14	≤500	≤500	1	1	无	8
15	≤1000	≤1000	1	0	无	6
16	≤1000	≤1000	1	1	无	14

特殊性质 A：∀1≤i≤n,1≤j≤⌊3m​⌋，ai,3j​=1；

特殊性质 B：∀1≤i≤⌊4n​⌋,1≤j≤m，a4i,j​=1；

附件下载

plant.zip728B

思路

参照了luogu的题解，用数学方法。

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long t,id,n,m,c,ff,f[1005][1005],ef=0,l[1005][1005],r[1005][1005],lr[1005],mod=998244353,lk=0,kl=0;
char s[1005][1005];
int main(){
    long long j1,j2,j3;
    cin>>t>>id;
    while(t--){
        cin>>n>>m>>c>>ff;
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                cin>>s[i][j];
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=m-1;j>=1;j--){
                if(s[i][j]=='1'){
                    f[i][j]=-1;
                }
                else if(s[i][j+1]=='0'){
                    f[i][j]=f[i][j+1]+1;
                }
            }
        }  
        lk=kl=0;
        for(int j=1;j<=m-1;j++){
            long long j1,j2,j3;
            j1=j2=j3=0;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                if(f[i][j]==-1){
                    j1=j2=j3=0;
                }
                else{
                    lk=(lk%mod+f[i][j]*(j1%mod)%mod)%mod;
                    kl=(kl%mod+j3%mod)%mod;
                    j3=(j3+(f[i][j]*(j1%mod)%mod))%mod;
                    j1+=max(0ll,f[i-1][j]);
                }
            }
        }
        cout<<c*lk<<" "<<ff*kl<<endl;
    }

    return 0;
}