P3628 [APIO2010] 特别行动队题解

题目描述

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，你要将他们拆分成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号应该连续，即为形如 (i,i+1,⋯,i+k) 的序列。所有的队员都应该属于且仅属于一支特别行动队。

编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi​，一支特别行动队的初始战斗力 X 为队内士兵初始战斗力之和，即 X=xi​+xi+1​+⋯+xi+k​。

通过长期的观察，你总结出对于一支初始战斗力为 X 的特别行动队，其修正战斗力 X′=aX2+bX+c，其中 a,b,c 是已知的系数（a<0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队的修正战斗力之和最大。试求出这个最大和。

输入格式

输入的第一行是一个整数 n，代表士兵的人数。

输入的第二行有三个用空格隔开的整数，依次代表 a,b,c，即修正战斗力的系数。

输入的第三行有 n 个用空格隔开的整数，第 i 个整数代表编号为 i 的士兵的初始战斗力 xi​。

输出格式

输出一行一个整数，代表最大的所有特别行动队战斗力之和。

输入输出样例

输入 #1复制

4 
-1 10 -20 
2 2 3 4 

输出 #1复制

9

说明/提示

样例输入输出 1 解释

你有 4 名士兵，x1​=2, x2​=2, x3​=3, x4​=4。修正战斗力公式中的参数为 a=−1, b=10, c=−20。

此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 −42+10×4−20=4，−32+10×3−20=1，−42+10×4−20=4。修正后的战斗力和为 4+1+4=9，没有其它方案能使修正后的战斗力和更大。

数据范围与约定

对于 20% 的数据，n≤103。

对于 50% 的数据，n≤104。

对于 100% 的数据，1≤n≤106，−5≤a≤−1，−107≤b≤107，−107≤c≤107，1≤xi​≤100。

思路

首先，先写出暴力50分代码。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,a,b,c,x[1000006],y[1000006],f[1000006];
int main(){
	cin>>n;
    cin>>a>>b>>c;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>x[i];
        y[i]=y[i-1]+x[i];
    }
    memset(f,-62,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=i-1;j++){
            f[i]=max(f[i],f[j]+a*(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j])+b*(y[i]-y[j])+c);
        }
    }
    cout<<f[n]<<endl;
	return 0;
}#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,a,b,c,x[1000006],y[1000006],f[1000006];
int main(){
	cin>>n;
    cin>>a>>b>>c;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>x[i];
        y[i]=y[i-1]+x[i];
    }
    memset(f,-62,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=i-1;j++){
            f[i]=max(f[i],f[j]+a*(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j])+b*(y[i]-y[j])+c);
        }
    }
    cout<<f[n]<<endl;
	return 0;
}

然后，运用优化方法：

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,a,b,c,x[1000006],y[1000006],f[1000006];
int main(){
	cin>>n;
    cin>>a>>b>>c;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>x[i];
        y[i]=y[i-1]+x[i];
    }
    memset(f,-62,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=max(0ll,i-250ll);j<=i-1;j++){
            f[i]=max(f[i],f[j]+a*y[i]*y[i]+a*y[j]*y[j]-2*a*y[i]*y[j]+b*y[i]-b*y[j]+c);
        }
    }
    cout<<f[n]<<endl;
	return 0;
}