CSP-J 2025题解

P14357 [CSP-J 2025] 拼数 / number（民间数据）

题目描述

小 R 正在学习字符串处理。小 X 给了小 R 一个字符串 $s$，其中 $s$ 仅包含小写英文字母及数字，且包含至少一个 $1\sim 9$ 中的数字。小 X 希望小 R 使用 $s$ 中的任意多个数字，按任意顺序拼成一个正整数。注意：小 R 可以选择 $s$ 中相同的数字，但每个数字只能使用一次。例如，若 $s$ 为 $1a01b$，则小 R 可以同时选择第 $1,3,4$ 个字符，分别为 $1,0,1$，拼成正整数 $101$ 或 $110$；但小 R 不能拼成正整数 $111$，因为 $s$ 仅包含两个数字 $1$。小 R 想知道，在他所有能拼成的正整数中，最大的是多少。你需要帮助小 R 求出他能拼成的正整数的最大值。

输入格式

输入的第一行包含一个字符串 $s$，表示小 X 给小 R 的字符串。

输出格式

输出一行一个正整数，表示小 R 能拼成的正整数的最大值。

输入输出样例 #1

输入 #1

5

输出 #1

5

输入输出样例 #2

输入 #2

290es1q0

输出 #2

92100

说明/提示

【样例 2 解释】

$s$ 包含数字 $2,9,0,1,0$。可以证明，小 R 拼成的正整数的最大值为 $92100$。

【样例 3】

见选手目录下的 $number/number3.in$ 与 $number/number3.ans$。该样例满足测试点 $9\sim 11$ 的约束条件。

【样例 4】

见选手目录下的 $number/number4.in$ 与 $number/number4.ans$。该样例满足测试点 $20$ 的约束条件。

【数据范围】

设 $|s|$ 为字符串 $s$ 的长度。对于所有测试数据，保证：

• $1\le |s|\le 10^6$；
• $s$ 仅包含小写英文字母及数字，且包含至少一个 $1\sim 9$ 中的数字。

::cute-table{tuack}

测试点编号	$|s|\le$	特殊性质
$1$	$1$	A
$2$	$2$	^
$3$	^	无
$4$	$10$	A
$5,6$	^	无
$7,8$	$10^2$	A
$9\sim 11$	^	无
$12$	$10^3$	A
$13,14$	^	无
$15$	$10^5$	A
$16,17$	^	B
$18,19$	^	无
$20$	$10^6$	A
$21,22$	^	B
$23\sim 25$	^	无

• 特殊性质 A：$s$ 仅包含数字。
• 特殊性质 B：$s$ 仅包含不超过 $10^3$ 个数字。

思路

直接贪心即可，可以将所有的数字都拿出来，从大到小排序，必然最优。

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[1000006];
string s;
int main(){
	cin>>s;
	for(int i=0;i<s.size();i++){
		if(s[i]>='0'&&s[i]<='9'){
			a[++a[0]]=(long long)(s[i]-'0');
		}
	}
	sort(a+1,a+a[0]+1);
	for(int i=a[0];i>=1;i--){
		cout<<a[i];
	}
	cout<<endl;
	return 0;
}

P14358 [CSP-J 2025] 座位 / seat（民间数据）

题目描述

CSP-J 2025 第二轮正在进行。小 R 所在的考场共有 $n\times m$ 名考生，其中所有考生的 CSP-J 2025 第一轮成绩互不相同。所有 $n\times m$ 名考生将按照 CSP-J 2025 第一轮的成绩，由高到低蛇形分配座位，排列成 $n$ 行 $m$ 列。具体地，设小 R 所在的考场的所有考生的成绩从高到低分别为 $s_1>s_2>\cdots >s_{n\times m}$，则成绩为 $s_1$ 的考生的座位为第 1 列第 $1$ 行，成绩为 $s_2$ 的考生的座位为第 $1$ 列第 $2$ 行，$\dots$，成绩为 $s_n$ 的考生的座位为第 $1$ 列第 $n$ 行，成绩为 $s_{n+1}$ 的考生的座位为第 $2$ 列第 $n$ 行，$\dots$，成绩为 $s_{2n}$ 的考生的座位为第 $2$ 列第 $1$ 行，成绩为 $s_{2n+1}$ 的考生的座位为第 $3$ 列第 $1$ 行，以此类推。

例如，若 $n=4,m=5$，则所有 $4\times 5=20$ 名考生将按照 CSP-J 2025 第一轮成绩从高到低的顺序，根据下图中的箭头顺序分配座位。

:::align{center}

:::

给定小 R 所在的考场座位的行数 $n$ 与列数 $m$，以及小 R 所在的考场的所有考生 CSP-J 2025 第一轮的成绩 $a_1,a_2,\dots ,a_{n\times m}$，其中 $a_1$ 为小 R CSP-J 2025 第一轮的成绩，你需要帮助小 R 求出，他的座位为第几列第几行。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 $n,m$，分别表示小 R 所在的考场座位的行数与列数。

输入的第二行包含 $n\times m$ 个正整数 $a_1,a_2,\dots ,a_{n\times m}$，分别表示小 R 所在的考场的所有考生 CSP-J 2025 第一轮的成绩，其中 $a_1$ 为小 R CSP-J 2025 第一轮的成绩。

输出格式

输出一行两个正整数 $c,r$，表示小 R 的座位为第 $c$ 列第 $r$ 行。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 2
99 100 97 98

输出 #1

1 2

输入输出样例 #2

输入 #2

2 2
98 99 100 97

输出 #2

2 2

输入输出样例 #3

输入 #3

3 3
94 95 96 97 98 99 100 93 92

输出 #3

3 1

说明/提示

【样例 1 解释】

按照成绩从高到低的顺序，成绩为 $100$ 的考生的座位为第 $1$ 列第 $1$ 行，成绩为 $99$ 的考生的座位为第 $1$ 列第 $2$ 行，成绩为 $98$ 的考生的座位为第 $2$ 列第 $2$ 行，成绩为 $97$ 的考生的座位为第 $2$ 列第 $1$ 行。小 R 的成绩为 $99$，因此座位为第 $1$ 列第 $2$ 行。

【样例 2 解释】

按照成绩从高到低的顺序，成绩为 $100$ 的考生的座位为第 $1$ 列第 $1$ 行，成绩为 $99$ 的考生的座位为第 $1$ 列第 $2$ 行，成绩为 $98$ 的考生的座位为第 $2$ 列第 $2$ 行，成绩为 $97$ 的考生的座位为第 $2$ 列第 $1$ 行。小 R 的成绩为 $98$，因此座位为第 $2$ 列第 $2$ 行。

【数据范围】

对于所有测试数据，保证：

• $1\le n\le 10$, $1\le m\le 10$;
• 对于所有 $1\le i\le n\times m$，均有 $1\le a_i\le 100$，且 $a_1,a_2,\dots ,a_{n\times m}$ 互不相同。

::cute-table{tuack}

测试点编号	$n\le$	$m\le$	特殊性质
$1$	$1$	$1$	AB
$2,3$	^	$10$	无
$4,5$	$10$	$1$	^
$6$	$2$	$2$	A
$7$	^	^	B
$8,9$	^	^	无
$10$	^	$10$	A
$11$	^	^	B
$12\sim 14$	^	^	无
$15\sim 17$	$10$	$2$	^
$18\sim 20$	^	$10$	^

特殊性质 A：对于所有 $1\le i\le n\times m$，均有 $a_i=i$。

特殊性质 B：对于所有 $1\le i\le n\times m$，均有 $a_i=n\times m-i+1$。

思路

直接模拟放置，标记一下1点，扫到直接输出即可。

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,d[105][105];
struct one{
	long long a,b;
}a[100005];
bool cmp(one a1,one b1){
	return a1.a>b1.a;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	cin>>a[1].a;
	a[1].b=1;
    for(int i=2;i<=n*m;i++){
		cin>>a[i].a;
		a[i].b=0;
	}
	sort(a+1,a+n*m+1,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(i%2==1){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				d[i][j]=a[(i-1)*n+j].b;
			}
		}
		else{
			for(int j=1;j<=n;j++){
				d[i][j]=a[(i-1)*n+n-j+1].b;
			}			
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(d[i][j]==1){
				cout<<i<<" "<<j<<endl;
				return 0;
			}
		}
	}
	return 0;
}

P14359 [CSP-J 2025] 异或和 / xor（民间数据）

题目描述

小 R 有一个长度为 $n$ 的非负整数序列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$。定义一个区间 $[l,r]$ ($1\le l\le r\le n$) 的权值为 $a_l,a_{l+1},\dots ,a_r$ 的二进制按位异或和，即 $a_l\oplus a_{l+1}\oplus \cdots \oplus a_r$，其中 $\oplus$ 表示二进制按位异或。

小 X 给了小 R 一个非负整数 $k$。小 X 希望小 R 选择序列中尽可能多的不相交的区间，使得每个区间的权值均为 $k$。两个区间 $[l_1,r_1],[l_2,r_2]$ 相交当且仅当两个区间同时包含至少一个相同的下标，即存在 $1\le i\le n$ 使得 $l_1\le i\le r_1$ 且 $l_2\le i\le r_2$。

例如，对于序列 $[2,1,0,3]$，若 $k=2$，则小 R 可以选择区间 $[1,1]$ 和区间 $[2,4]$，权值分别为 $2$ 和 $1\oplus 0\oplus 3=2$；若 $k=3$，则小 R 可以选择区间 $[1,2]$ 和区间 $[4,4]$，权值分别为 $1\oplus 2=3$ 和 $3$。

你需要帮助小 R 求出他能选出的区间数量的最大值。

输入格式

输入的第一行包含两个非负整数 $n,k$，分别表示小 R 的序列长度和小 X 给小 R 的非负整数。

输入的第二行包含 $n$ 个非负整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，表示小 R 的序列。

输出格式

输出一行一个非负整数，表示小 R 能选出的区间数量的最大值。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 2
2 1 0 3

输出 #1

2

输入输出样例 #2

输入 #2

4 3
2 1 0 3

输出 #2

2

输入输出样例 #3

输入 #3

4 0
2 1 0 3

输出 #3

1

说明/提示

【样例 1 解释】

小 R 可以选择区间 $[1,1]$ 和区间 $[2,4]$，异或和分别为 $2$ 和 $1\oplus 0\oplus 3=2$。可以证明，小 R 能选出的区间数量的最大值为 $2$。

【样例 2 解释】

小 R 可以选择区间 $[1,2]$ 和区间 $[4,4]$，异或和分别为 $1\oplus 2=3$ 和 $3$。可以证明，小 R 能选出的区间数量的最大值为 $2$。

【样例 3 解释】

小 R 可以选择区间 $[3,3]$，异或和为 $0$。可以证明，小 R 能选出的区间数量的最大值为 $1$。注意：小 R 不能同时选择区间 $[3,3]$ 和区间 $[1,4]$，因为这两个区间同时包含下标 $3$。

【样例 4】

见选手目录下的 $xor/xor4.in$ 与 $xor/xor4.ans$。

该样例满足测试点 $4,5$ 的约束条件。

【样例 5】

见选手目录下的 $xor/xor5.in$ 与 $xor/xor5.ans$。

该样例满足测试点 $9,10$ 的约束条件。

【样例 6】

见选手目录下的 $xor/xor6.in$ 与 $xor/xor6.ans$。

该样例满足测试点 $14,15$ 的约束条件。

【数据范围】

对于所有测试数据，保证：

• $1\le n\le 5\times 10^5$, $0\le k<2^{20}$;
• 对于所有 $1\le i\le n$，均有 $0\le a_i<2^{20}$。

::cute-table{tuack}

测试点编号	$n\le$	$k$	特殊性质
$1$	$2$	$=0$	A
$2$	$10$	$\le 1$	B
$3$	$10^2$	$=0$	A
$4,5$	^	$\le 1$	B
$6\sim 8$	^	$\le 255$	C
$9,10$	$10^3$	^	^
$11,12$	^	$<2^{20}$	无
$13$	$2\times 10^5$	$\le 1$	B
$14,15$	^	$\le 255$	C
$16$	^	$<2^{20}$	无
$17$	$5\times 10^5$	$\le 255$	C
$18\sim 20$	^	$<2^{20}$	无

特殊性质 A: 对于所有 $1\le i\le n$，均有 $a_i=1$。

特殊性质 B: 对于所有 $1\le i\le n$，均有 $0\le a_i\le 1$。

特殊性质 C: 对于所有 $1\le i\le n$，均有 $0\le a_i\le 255$。

思路

稍微有些难度，首先，可以发现，我们可以统计以每个数开头的异或和为k的最小结尾，然后后缀取最小不断跳即可。
思考如何求，首先vector储存从1开始的前缀异或，然后对于每个数，求出前缀多少的才能使它达标，接着二分即可。

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,k,a[500005],b[500005],c[500005],d,br=1,op=0;
vector<long long> v[2000006];
int main(){
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		b[i]=(b[i-1]^a[i]);
		v[b[i]].push_back(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		d=k^b[i-1];
		c[i]=n+1;
		if(v[d].size()!=0){
			long long l=0,r=v[d].size()-1,md=n+1;
			while(l<=r){
				long long mid=(l+r)/2;
				if(v[d][mid]>=i){
					md=min(md,v[d][mid]);
					r=mid-1;
				}
				else{
					l=mid+1;
				}
			}
			c[i]=md;
		}
	}
	c[n+1]=n+1;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		c[i]=min(c[i],c[i+1]);
	}
	br=1;
	while(1){
		br=c[br];
		if(br>=n+1){
			break;
		}
		br++;
		op++;
		if(br>=n+1){
			break;
		}
	}
	cout<<op<<endl;
	return 0;
}

P14360 [CSP-J 2025] 多边形 / polygon（民间数据）

题目描述

小 R 喜欢玩小木棍。小 R 有 $n$ 根小木棍，第 $i$ ($1\le i\le n$) 根小木棍的长度为 $a_i$。

小 X 希望小 R 从这 $n$ 根小木棍中选出若干根小木棍，将它们按任意顺序首尾相连拼成一个多边形。小 R 并不知道小木棍能拼成多边形的条件，于是小 X 直接将条件告诉了他：对于长度分别为 $l_1,l_2,\dots ,l_m$ 的 $m$ 根小木棍，这 $m$ 根小木棍能拼成一个多边形当且仅当 $m\ge 3$ 且所有小木棍的长度之和大于所有小木棍的长度最大值的两倍，即 ${\sum }_{i=1}^m{l}_i>2\times {\max }_{i=1}^m{l}_i$。

由于小 R 知道了小木棍能拼成多边形的条件，小 X 提出了一个更难的问题：有多少种选择小木棍的方案，使得选出的小木棍能够拼成一个多边形？你需要帮助小 R 求出选出的小木棍能够拼成一个多边形的方案数。两种方案不同当且仅当选择的小木棍的下标集合不同，即存在 $1\le i\le n$，使得其中一种方案选择了第 $i$ 根小木棍，但另一种方案未选择。由于答案可能较大，你只需要求出答案对 $998,244,353$ 取模后的结果。

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 $n$，表示小 R 的小木棍的数量。

输入的第二行包含 $n$ 个正整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，表示小 R 的小木棍的长度。

输出格式

输出一行一个非负整数，表示小 R 选出的小木棍能够拼成一个多边形的方案数对 $998,244,353$ 取模后的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

5
1 2 3 4 5

输出 #1

9

输入输出样例 #2

输入 #2

5
2 2 3 8 10

输出 #2

6

说明/提示

【样例 1 解释】

共有以下 $9$ 种选择小木棍的方案，使得选出的小木棍能够拼成一个多边形：

1. 选择第 $2,3,4$ 根小木棍，长度之和为 $2+3+4=9$，长度最大值为 $4$;
2. 选择第 $2,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $2+4+5=11$，长度最大值为 $5$;
3. 选择第 $3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $3+4+5=12$，长度最大值为 $5$;
4. 选择第 $1,2,3,4$ 根小木棍，长度之和为 $1+2+3+4=10$，长度最大值为 $4$;
5. 选择第 $1,2,3,5$ 根小木棍，长度之和为 $1+2+3+5=11$，长度最大值为 $5$;
6. 选择第 $1,2,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $1+2+4+5=12$，长度最大值为 $5$;
7. 选择第 $1,3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $1+3+4+5=13$，长度最大值为 $5$;
8. 选择第 $2,3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $2+3+4+5=14$，长度最大值为 $5$;
9. 选择第 $1,2,3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $1+2+3+4+5=15$，长度最大值为 $5$。

【样例 2 解释】

共有以下 $6$ 种选择小木棍的方案，使得选出的小木棍能够拼成一个多边形：

1. 选择第 $1,2,3$ 根小木棍，长度之和为 $2+2+3=7$，长度最大值为 $3$;
2. 选择第 $3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $3+8+10=21$，长度最大值为 $10$;
3. 选择第 $1,2,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $2+2+8+10=22$，长度最大值为 $10$;
4. 选择第 $1,3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $2+3+8+10=23$，长度最大值为 $10$;
5. 选择第 $2,3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $2+3+8+10=23$，长度最大值为 $10$;
6. 选择第 $1,2,3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $2+2+3+8+10=25$，长度最大值为 $10$。

【样例 3】

见选手目录下的 $polygon/polygon3.in$ 与 $polygon/polygon3.ans$。

该样例满足测试点 $7\sim 10$ 的约束条件。

【样例 4】

见选手目录下的 $polygon/polygon4.in$ 与 $polygon/polygon4.ans$。

该样例满足测试点 $11\sim 14$ 的约束条件。

【子任务】

对于所有测试数据，保证：

• $3\le n\le 5,000$;
• 对于所有 $1\le i\le n$，均有 $1\le a_i\le 5000$。

::cute-table{tuack}

测试点编号	$n\le$	${\max }_{i=1}^n{a}_i\le$
$1\sim 3$	$3$	$10$
$4\sim 6$	$10$	$10^2$
$7\sim 10$	$20$	^
$11\sim 14$	$500$	^
$15\sim 17$	^	$1$
$18\sim 20$	$5000$	^
$21\sim 25$	^	$5000$

思路

首先想到暴力枚举使用，可得40分。
然后考虑优化，使用前后缀背包DP，可以发现，有不成立仅当前后之和小于等与$a_i$所以前后缀背包DP，记录可能性，再给其中一个前缀和，在枚举统计即可，最后直接容斥即可。

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[5005],mod=998244353,f[5005][5005],f2[5005][5005],dl=0,de=0,op=0,kl=0;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	f[0][0]=1;
	for(int i=0;i<=n-1;i++){
		for(int j=5001;j>=0;j--){
			f[i+1][j]=f[i][j];
			if(j+a[i+1]<=5000){
				f[i+1][j+a[i+1]]=(f[i+1][j+a[i+1]]+f[i][j])%mod;
			}
			else{
				f[i+1][5001]=(f[i+1][5001]+f[i][j])%mod;
			}
		}
	}
	f2[n+1][0]=1;
	for(int i=n+1;i>=2;i--){
		for(int j=5001;j>=0;j--){
			f2[i-1][j]=f2[i][j];
			if(j+a[i-1]<=5000){
				f2[i-1][j+a[i-1]]=(f2[i-1][j+a[i-1]]+f2[i][j])%mod;
			}
			else{
				f2[i-1][5001]=(f2[i-1][5001]+f2[i][j])%mod;
			}
		}
	}
	for(int i=n+1;i>=1;i--){
		for(int j=1;j<=5001;j++){
			f2[i][j]=(f2[i][j]+f2[i][j-1])%mod;
		}
	}
	dl=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(a[i]>=a[j]&&i!=j){
				dl++;
			}
		}
	}
	dl+=n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=a[i];j++){
			op=(op+(long long)f[i-1][j]*f2[i+1][a[i]-j])%mod;
		}
	}
	de=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		de=(de*2)%mod;
	}
	de-=n*(n-1)/2;
	de-=n;
	de--;
	de=(de+mod)%mod;
	//cout<<de<<endl;
	kl=(de+dl-op+mod)%mod;
	cout<<kl<<endl;
	return 0;
}