[CSP-J 2025] 异或和题解

P14359 [CSP-J 2025] 异或和 / xor（民间数据）

题目描述

小 R 有一个长度为 $n$ 的非负整数序列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$。定义一个区间 $[l,r]$ ($1\le l\le r\le n$) 的权值为 $a_l,a_{l+1},\dots ,a_r$ 的二进制按位异或和，即 $a_l\oplus a_{l+1}\oplus \cdots \oplus a_r$，其中 $\oplus$ 表示二进制按位异或。

小 X 给了小 R 一个非负整数 $k$。小 X 希望小 R 选择序列中尽可能多的不相交的区间，使得每个区间的权值均为 $k$。两个区间 $[l_1,r_1],[l_2,r_2]$ 相交当且仅当两个区间同时包含至少一个相同的下标，即存在 $1\le i\le n$ 使得 $l_1\le i\le r_1$ 且 $l_2\le i\le r_2$。

例如，对于序列 $[2,1,0,3]$，若 $k=2$，则小 R 可以选择区间 $[1,1]$ 和区间 $[2,4]$，权值分别为 $2$ 和 $1\oplus 0\oplus 3=2$；若 $k=3$，则小 R 可以选择区间 $[1,2]$ 和区间 $[4,4]$，权值分别为 $1\oplus 2=3$ 和 $3$。

你需要帮助小 R 求出他能选出的区间数量的最大值。

输入格式

输入的第一行包含两个非负整数 $n,k$，分别表示小 R 的序列长度和小 X 给小 R 的非负整数。

输入的第二行包含 $n$ 个非负整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，表示小 R 的序列。

输出格式

输出一行一个非负整数，表示小 R 能选出的区间数量的最大值。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 2
2 1 0 3

输出 #1

2

输入输出样例 #2

输入 #2

4 3
2 1 0 3

输出 #2

2

输入输出样例 #3

输入 #3

4 0
2 1 0 3

输出 #3

1

说明/提示

【样例 1 解释】

小 R 可以选择区间 $[1,1]$ 和区间 $[2,4]$，异或和分别为 $2$ 和 $1\oplus 0\oplus 3=2$。可以证明，小 R 能选出的区间数量的最大值为 $2$。

【样例 2 解释】

小 R 可以选择区间 $[1,2]$ 和区间 $[4,4]$，异或和分别为 $1\oplus 2=3$ 和 $3$。可以证明，小 R 能选出的区间数量的最大值为 $2$。

【样例 3 解释】

小 R 可以选择区间 $[3,3]$，异或和为 $0$。可以证明，小 R 能选出的区间数量的最大值为 $1$。注意：小 R 不能同时选择区间 $[3,3]$ 和区间 $[1,4]$，因为这两个区间同时包含下标 $3$。

【样例 4】

见选手目录下的 $xor/xor4.in$ 与 $xor/xor4.ans$。

该样例满足测试点 $4,5$ 的约束条件。

【样例 5】

见选手目录下的 $xor/xor5.in$ 与 $xor/xor5.ans$。

该样例满足测试点 $9,10$ 的约束条件。

【样例 6】

见选手目录下的 $xor/xor6.in$ 与 $xor/xor6.ans$。

该样例满足测试点 $14,15$ 的约束条件。

【数据范围】

对于所有测试数据，保证：

• $1\le n\le 5\times 10^5$, $0\le k<2^{20}$;
• 对于所有 $1\le i\le n$，均有 $0\le a_i<2^{20}$。

::cute-table{tuack}

测试点编号	$n\le$	$k$	特殊性质
$1$	$2$	$=0$	A
$2$	$10$	$\le 1$	B
$3$	$10^2$	$=0$	A
$4,5$	^	$\le 1$	B
$6\sim 8$	^	$\le 255$	C
$9,10$	$10^3$	^	^
$11,12$	^	$<2^{20}$	无
$13$	$2\times 10^5$	$\le 1$	B
$14,15$	^	$\le 255$	C
$16$	^	$<2^{20}$	无
$17$	$5\times 10^5$	$\le 255$	C
$18\sim 20$	^	$<2^{20}$	无

特殊性质 A: 对于所有 $1\le i\le n$，均有 $a_i=1$。

特殊性质 B: 对于所有 $1\le i\le n$，均有 $0\le a_i\le 1$。

特殊性质 C: 对于所有 $1\le i\le n$，均有 $0\le a_i\le 255$。

思路

稍微有些难度，首先，可以发现，我们可以统计以每个数开头的异或和为k的最小结尾，然后后缀取最小不断跳即可。
思考如何求，首先vector储存从1开始的前缀异或，然后对于每个数，求出前缀多少的才能使它达标，接着二分即可。

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,k,a[500005],b[500005],c[500005],d,br=1,op=0;
vector<long long> v[2000006];
int main(){
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		b[i]=(b[i-1]^a[i]);
		v[b[i]].push_back(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		d=k^b[i-1];
		c[i]=n+1;
		if(v[d].size()!=0){
			long long l=0,r=v[d].size()-1,md=n+1;
			while(l<=r){
				long long mid=(l+r)/2;
				if(v[d][mid]>=i){
					md=min(md,v[d][mid]);
					r=mid-1;
				}
				else{
					l=mid+1;
				}
			}
			c[i]=md;
		}
	}
	c[n+1]=n+1;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		c[i]=min(c[i],c[i+1]);
	}
	br=1;
	while(1){
		br=c[br];
		if(br>=n+1){
			break;
		}
		br++;
		op++;
		if(br>=n+1){
			break;
		}
	}
	cout<<op<<endl;
	return 0;
}