[CSP-J 2025] 多边形题解

P14360 [CSP-J 2025] 多边形 / polygon（民间数据）

题目描述

小 R 喜欢玩小木棍。小 R 有 $n$ 根小木棍，第 $i$ ($1\le i\le n$) 根小木棍的长度为 $a_i$。

小 X 希望小 R 从这 $n$ 根小木棍中选出若干根小木棍，将它们按任意顺序首尾相连拼成一个多边形。小 R 并不知道小木棍能拼成多边形的条件，于是小 X 直接将条件告诉了他：对于长度分别为 $l_1,l_2,\dots ,l_m$ 的 $m$ 根小木棍，这 $m$ 根小木棍能拼成一个多边形当且仅当 $m\ge 3$ 且所有小木棍的长度之和大于所有小木棍的长度最大值的两倍，即 ${\sum }_{i=1}^m{l}_i>2\times {\max }_{i=1}^m{l}_i$。

由于小 R 知道了小木棍能拼成多边形的条件，小 X 提出了一个更难的问题：有多少种选择小木棍的方案，使得选出的小木棍能够拼成一个多边形？你需要帮助小 R 求出选出的小木棍能够拼成一个多边形的方案数。两种方案不同当且仅当选择的小木棍的下标集合不同，即存在 $1\le i\le n$，使得其中一种方案选择了第 $i$ 根小木棍，但另一种方案未选择。由于答案可能较大，你只需要求出答案对 $998,244,353$ 取模后的结果。

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 $n$，表示小 R 的小木棍的数量。

输入的第二行包含 $n$ 个正整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，表示小 R 的小木棍的长度。

输出格式

输出一行一个非负整数，表示小 R 选出的小木棍能够拼成一个多边形的方案数对 $998,244,353$ 取模后的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

5
1 2 3 4 5

输出 #1

9

输入输出样例 #2

输入 #2

5
2 2 3 8 10

输出 #2

6

说明/提示

【样例 1 解释】

共有以下 $9$ 种选择小木棍的方案，使得选出的小木棍能够拼成一个多边形：

1. 选择第 $2,3,4$ 根小木棍，长度之和为 $2+3+4=9$，长度最大值为 $4$;
2. 选择第 $2,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $2+4+5=11$，长度最大值为 $5$;
3. 选择第 $3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $3+4+5=12$，长度最大值为 $5$;
4. 选择第 $1,2,3,4$ 根小木棍，长度之和为 $1+2+3+4=10$，长度最大值为 $4$;
5. 选择第 $1,2,3,5$ 根小木棍，长度之和为 $1+2+3+5=11$，长度最大值为 $5$;
6. 选择第 $1,2,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $1+2+4+5=12$，长度最大值为 $5$;
7. 选择第 $1,3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $1+3+4+5=13$，长度最大值为 $5$;
8. 选择第 $2,3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $2+3+4+5=14$，长度最大值为 $5$;
9. 选择第 $1,2,3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $1+2+3+4+5=15$，长度最大值为 $5$。

【样例 2 解释】

共有以下 $6$ 种选择小木棍的方案，使得选出的小木棍能够拼成一个多边形：

1. 选择第 $1,2,3$ 根小木棍，长度之和为 $2+2+3=7$，长度最大值为 $3$;
2. 选择第 $3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $3+8+10=21$，长度最大值为 $10$;
3. 选择第 $1,2,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $2+2+8+10=22$，长度最大值为 $10$;
4. 选择第 $1,3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $2+3+8+10=23$，长度最大值为 $10$;
5. 选择第 $2,3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $2+3+8+10=23$，长度最大值为 $10$;
6. 选择第 $1,2,3,4,5$ 根小木棍，长度之和为 $2+2+3+8+10=25$，长度最大值为 $10$。

【样例 3】

见选手目录下的 $polygon/polygon3.in$ 与 $polygon/polygon3.ans$。

该样例满足测试点 $7\sim 10$ 的约束条件。

【样例 4】

见选手目录下的 $polygon/polygon4.in$ 与 $polygon/polygon4.ans$。

该样例满足测试点 $11\sim 14$ 的约束条件。

【子任务】

对于所有测试数据，保证：

• $3\le n\le 5,000$;
• 对于所有 $1\le i\le n$，均有 $1\le a_i\le 5000$。

::cute-table{tuack}

测试点编号	$n\le$	${\max }_{i=1}^n{a}_i\le$
$1\sim 3$	$3$	$10$
$4\sim 6$	$10$	$10^2$
$7\sim 10$	$20$	^
$11\sim 14$	$500$	^
$15\sim 17$	^	$1$
$18\sim 20$	$5000$	^
$21\sim 25$	^	$5000$

思路

首先想到暴力枚举使用，可得40分。
然后考虑优化，使用前后缀背包DP，可以发现，有不成立仅当前后之和小于等与$a_i$所以前后缀背包DP，记录可能性，再给其中一个前缀和，在枚举统计即可，最后直接容斥即可。

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[5005],mod=998244353,f[5005][5005],f2[5005][5005],dl=0,de=0,op=0,kl=0;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	f[0][0]=1;
	for(int i=0;i<=n-1;i++){
		for(int j=5001;j>=0;j--){
			f[i+1][j]=f[i][j];
			if(j+a[i+1]<=5000){
				f[i+1][j+a[i+1]]=(f[i+1][j+a[i+1]]+f[i][j])%mod;
			}
			else{
				f[i+1][5001]=(f[i+1][5001]+f[i][j])%mod;
			}
		}
	}
	f2[n+1][0]=1;
	for(int i=n+1;i>=2;i--){
		for(int j=5001;j>=0;j--){
			f2[i-1][j]=f2[i][j];
			if(j+a[i-1]<=5000){
				f2[i-1][j+a[i-1]]=(f2[i-1][j+a[i-1]]+f2[i][j])%mod;
			}
			else{
				f2[i-1][5001]=(f2[i-1][5001]+f2[i][j])%mod;
			}
		}
	}
	for(int i=n+1;i>=1;i--){
		for(int j=1;j<=5001;j++){
			f2[i][j]=(f2[i][j]+f2[i][j-1])%mod;
		}
	}
	dl=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(a[i]>=a[j]&&i!=j){
				dl++;
			}
		}
	}
	dl+=n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=a[i];j++){
			op=(op+(long long)f[i-1][j]*f2[i+1][a[i]-j])%mod;
		}
	}
	de=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		de=(de*2)%mod;
	}
	de-=n*(n-1)/2;
	de-=n;
	de--;
	de=(de+mod)%mod;
	//cout<<de<<endl;
	kl=(de+dl-op+mod)%mod;
	cout<<kl<<endl;
	return 0;
}