P13465 [GCJ 2008 #1C] Increasing Speed Limits题解

P13465 [GCJ 2008 #1C] Increasing Speed Limits

题目描述

你在高速公路上行驶时因超速被交警拦下。原来他们一直在跟踪你，他们惊讶地发现你一路都在加速，完全没有踩 f刹车！现在你急需一个借口来解释这一切。

你决定说：“我看到的所有限速标志都是递增的，所以我一直在加速。”警察听后大笑，并把你经过的这段高速公路上所有的限速标志都告诉了你，并表示你不太可能这么幸运，刚好只看到了一段递增的标志。

现在你需要估算这种情况发生的概率，换句话说，就是要找出给定序列中有多少个不同的严格递增子序列。空子序列不计入答案，因为那意味着你根本没看任何限速标志！

例如，$(1,2,5)$ 是 $(1,4,2,3,5,5)$ 的一个递增子序列，并且我们要计数两次，因为有两种方式可以从原序列中选出 $(1,2,5)$。

输入格式

第一行输入一个整数 $N$，表示测试用例的数量。接下来有 $N$ 组测试数据。每组测试数据的第一行为 $n$、$m$、$X$、$Y$ 和 $Z$，用空格分隔。$n$ 表示限速标志序列的长度，$m$ 表示生成数组 $A$ 的长度。接下来的 $m$ 行，每行一个整数，依次为 $A[0]$ 到 $A[m-1]$。

使用 $A$、$X$、$Y$ 和 $Z$，按照如下伪代码生成限速标志序列。mod 表示取余操作。

for i = 0 to n-1
  print A[i mod m]
  A[i mod m] = (X * A[i mod m] + Y * (i + 1)) mod Z

注意：输入的生成方式仅用于减小输入文件的体积，与解题方法无关。

输出格式

对于每个测试用例，输出一行，格式为 “Case #$T$: $S$”，其中 $T$ 表示测试用例编号，$S$ 表示非空严格递增子序列的数量，对 $1000000007$ 取模。

输入输出样例 #1

输入 #1

2
5 5 0 0 5
1
2
1
2
3
6 2 2 1000000000 6
1
2

输出 #1

Case #1: 15
Case #2: 13

说明/提示

样例说明

对于第 $2$ 个测试用例，限速标志序列应为 $1,2,0,0,0,4$。

数据范围

• $1\le N\le 20$
• $1\le m\le 100$
• $0\le X\le 10^9$
• $0\le Y\le 10^9$
• $1\le Z\le 10^9$
• $0\le A[i]<Z$

小数据范围（15 分，测试点 1 - 可见）

• $1\le m\le n\le 1000$

大数据范围（35 分，测试点 2 - 隐藏）

• $1\le m\le n\le 500000$

由 ChatGPT 4.1 翻译

思路

树状数组维护DP。

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
long long t,n,m,x,y,z,a[1000005],b[500005],c[500005],a2[500005],db=0,f[500005],op=0;
map<long long,long long> mp;
inline long long lb(long long x){
    return x&(-x);
}
inline void ci(long long x,long long v){
    long long a1=x;
    while(a1<=db){
        a2[a1]=(a2[a1]+v)%mod;
        a1=a1+lb(a1);
    }
    return ;
}
inline long long co(long long x){
    long long a1=0;
    while(x>=1){
        a1=(a1+a2[x])%mod;
        x-=lb(x);
    }
    return a1;
}
int main(){
    cin>>t;
    for(int o=1;o<=t;o++){
        mp.clear();
        cin>>n>>m>>x>>y>>z;
        for(int i=0;i<=m-1;i++){
            cin>>a[i];
        }
        for(int i=0;i<=n-1;i++){
            b[i]=a[i%m];
            c[i]=b[i];
            a[i%m]=(x*a[i%m]+y*(i+1))%z;
        }
        db=1;
        sort(c,c+n);
        for(int i=0;i<=n-1;i++){
            if(i==0||c[i]!=c[i-1]){
                mp[c[i]]=++db;
            }
        }
        for(int i=0;i<=n-1;i++){
            b[i]=mp[b[i]];
        }
        for(int i=0;i<=db;i++){
            a2[i]=0;
        }
        ci(1,1);
        op=0;
        for(int i=0;i<=n-1;i++){
            f[i]=co(b[i]-1);
            //cout<<a2[1]<<endl;
            ci(b[i],f[i]);
            op=(op+f[i])%mod;
        }
        cout<<"Case #"<<o<<": "<<op<<endl;
    }
	return 0;
}