[ABC199F] Graph Smoothing题解

AT_abc199_f [ABC199F] Graph Smoothing

题目描述

有一个包含 $N$ 个顶点和 $M$ 条边的简单无向图。顶点编号为 $1$ 到 $N$，边编号为 $1$ 到 $M$。
第 $i$ 条边连接顶点 $X_i$ 和顶点 $Y_i$。此外，顶点 $i$ 上最初写有整数 $A_i$。
你需要进行 $K$ 次如下操作：

• 从 $M$ 条边中，等概率且相互独立地随机选择一条边。记该边连接的两个顶点上写的数的平均值为 $x$，然后将这两个顶点上的数都替换为 $x$。

请你求出每个顶点 $i$ 在 $K$ 次操作后所写数字的期望值，并按照注释中的要求对 $10^9+7$ 取模输出。

输入格式

输入以如下格式从标准输入给出。

$N$ $M$ $K$
$A_1$ $A_2$ $A_3$ $\dots$ $A_N$
$X_1$ $Y_1$
$X_2$ $Y_2$
$X_3$ $Y_3$
$⋮$
$X_M$ $Y_M$

输出格式

请输出 $N$ 行。
第 $i$ 行输出第 $i$ 个顶点在 $K$ 次操作后所写数字的期望值，按照注释中的要求对 $10^9+7$ 取模输出。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 2 1
3 1 5
1 2
1 3

输出 #1

3
500000005
500000008

输入输出样例 #2

输入 #2

3 2 2
12 48 36
1 2
1 3

输出 #2

750000036
36
250000031

输入输出样例 #3

输入 #3

4 5 1000
578 173 489 910
1 2
2 3
3 4
4 1
1 3

输出 #3

201113830
45921509
67803140
685163678

说明/提示

注释

输出有理数时，首先将其表示为分数 $\frac{y}{x}$，其中 $x,y$ 为整数，且 $x$ 不能被 $10^9+7$ 整除（在本题的约束下总能做到）。
然后，输出唯一满足 $0\le z\le 10^9+6$ 且 $xz\equiv y(\mathrm{mod}10^9+7)$ 的整数 $z$。

约束条件

• $2\le N\le 100$
• $1\le M\le \frac{N(N-1)}{2}$
• $0\le K\le 10^9$
• $0\le A_i\le 10^9$
• $1\le X_i\le N$
• $1\le Y_i\le N$
• 给定的图是简单图
• 输入中的所有值均为整数

样例解释 1

• 若唯一的一次操作选择了第 $1$ 条边：顶点 $1,2,3$ 上的数分别变为 $2,2,5$
• 若唯一的一次操作选择了第 $2$ 条边：顶点 $1,2,3$ 上的数分别变为 $4,1,4$
  因此，操作后顶点 $1,2,3$ 上的数的期望值分别为 $3,\frac{3}{2},\frac{9}{2}$。
  将其按注释中的方式转化为 $10^9+7$ 下的表达，分别为 $3,500000005,500000008$。

样例解释 2

• 第 $1$ 次操作选择第 $1$ 条边时，顶点 $1,2,3$ 上的数分别为 $30,30,36$
• 第 $2$ 次操作选择第 $1$ 条边时，顶点 $1,2,3$ 上的数分别为 $30,30,36$
• 第 $2$ 次操作选择第 $2$ 条边时，顶点 $1,2,3$ 上的数分别为 $33,30,33$
• 第 $1$ 次操作选择第 $2$ 条边时，顶点 $1,2,3$ 上的数分别为 $24,48,24$
• 第 $2$ 次操作选择第 $1$ 条边时，顶点 $1,2,3$ 上的数分别为 $36,36,24$
• 第 $2$ 次操作选择第 $2$ 条边时，顶点 $1,2,3$ 上的数分别为 $24,48,24$
  这 $4$ 种情况各以 $\frac{1}{4}$ 的概率发生，因此最终顶点 $1,2,3$ 上的数的期望值分别为 $\frac{123}{4},\frac{144}{4}(=36),\frac{117}{4}$。

由 ChatGPT 4.1 翻译

思路

观察发现，k数值过大，而转移重复，所以考虑矩阵快速幂求解，设转移矩阵为a则：

    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>u>>v;
        df[u]++;//标记抽到u概率
        df[v]++;
        s[u][v]=s[v][u]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i!=j){
                if(s[i][j]==1){
                    a.a[i][j]=pow2(2*m,mod-2);//标记抽到i-j概率
                }
            }
            else{
                a.a[i][j]=(1-df[i]*pow2(2*m,mod-2)%mod+mod)%mod;//类似
            }
        }
    }

代码见下

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
long long n,k,mod=1e9+7,s[105][105],u,v,op=0;
long long m,df[105];
struct mat{
	long long a[105][105];
}a,b,q;
mat kc(mat c1,mat c2){
	mat c;
	memset(c.a,0,sizeof(c.a));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=1;k<=n;k++){
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+c1.a[i][k]*c2.a[k][j])%mod;
			}
		}
	}
	return c;
}
mat abc(mat a2,long long m2){
	mat b2;
	memset(b2.a,0,sizeof(b2.a));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		b2.a[i][i]=1;
	}
	while(m2!=0){
		if(m2%2==1){
			b2=kc(b2,a2);
		}
		a2=kc(a2,a2);
		m2/=2;
	}
	return b2;
}
long long pow2(long long a1,long long b1){
    long long k1=1;
    while(b1!=0){
        if(b1%2==1){
            k1=k1*a1%mod;
        }
        a1=a1*a1%mod;
        b1/=2;
    }
    return k1;
}
int main(){
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>q.a[1][i];
	}
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>u>>v;
        df[u]++;
        df[v]++;
        s[u][v]=s[v][u]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i!=j){
                if(s[i][j]==1){
                    a.a[i][j]=pow2(2*m,mod-2);
                }
            }
            else{
                a.a[i][j]=(1-df[i]*pow2(2*m,mod-2)%mod+mod)%mod;
            }
        }
    }
	b=abc(a,k);
	for(int i=1;i<=n;i++){
        op=0;
		for(int j=1;j<=n;j++){
            op+=q.a[1][j]*b.a[j][i];
            op%=mod;
        }
        cout<<op<<endl;
	}
	return 0; 	
}