AT_arc150_d [ARC150D] Removing Gacha题解

AT_arc150_d [ARC150D] Removing Gacha

题目描述

有一棵有 $N$ 个顶点的有根树，顶点编号为 $1$ 到 $N$。顶点 $1$ 是这棵树的根，对于每个顶点 $i(2\le i)$，其父节点为 $p_i$。

每个顶点有白色和黑色两种颜色。初始时所有顶点都是白色。

在这棵有根树中，如果从根节点 $1$ 到顶点 $i$ 的唯一简单路径上的所有顶点（包括 $1$ 和 $i$）都是黑色，则称顶点 $i$ 为“好顶点”。否则称为“坏顶点”。

你需要重复进行如下操作，直到所有顶点都变为黑色为止：从所有“坏顶点”中等概率随机选取一个顶点，并将其涂成黑色。

请你求出将所有顶点都变为黑色所需操作次数的期望值，并对 $998244353$ 取模。

期望值 $\mathrm{mod}998244353$ 的定义：可以证明，所求的期望值一定是有理数，并且在本题的约束下，若将其表示为最简分数 $\frac{P}{Q}$，则 $Q\not\equiv 0(\mathrm{mod}998244353)$。因此，存在唯一的整数 $R$ 满足 $R\times Q\equiv P(\mathrm{mod}998244353),0\le R<998244353$。请输出这个 $R$。

输入格式

输入为以下格式，从标准输入读取。

$N$ $p_2$ $p_3$ $\dots$ $p_N$

输出格式

请输出答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

4
1 1 3

输出 #1

831870300

输入输出样例 #2

输入 #2

15
1 2 1 1 4 5 3 3 5 10 3 6 3 13

输出 #2

515759610

说明/提示

数据范围

• $2\le N\le 2\times 10^5$
• $1\le p_i<i$
• 输入的所有值均为整数

样例解释 1

例如，假设第 $1,2,3$ 次操作依次选择了顶点 $1,2,4$。此时，顶点 $1,2$ 是“好顶点”，但顶点 $4$ 由于其祖先顶点 $3$ 仍为白色，所以是“坏顶点”。因此在第 $4$ 次操作时，需要从顶点 $3,4$ 中等概率随机选择一个。将所有顶点变为黑色所需操作次数的期望值为 $\frac{35}{6}$。

由 ChatGPT 4.1 翻译

思路

观察发现，对于a节点，其期望值为1/1+…+1/$d_a$，d为深度。

代码见下

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
long long n,mod=998244353,fa,d[200005],cc[200005],op=0;
vector<long long> v[200005];
long long pow2(long long a1,long long b1){
    long long k1=1;
    while(b1!=0){
        if(b1%2==1){
            k1=k1*a1%mod;
        }
        a1=a1*a1%mod;
        b1/=2;
    }
    return k1;
}
void abc(long long a1,long long b1){
    d[a1]=b1;
    for(int i=0;i<v[a1].size();i++){
        long long tt=v[a1][i];
        abc(tt,b1+1);
    }
    return ;
}
int main(){
	cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        cin>>fa;
        v[fa].push_back(i);
    }
    abc(1,1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cc[i]=(cc[i-1]+pow2(i,mod-2))%mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        op=(op+cc[d[i]])%mod;
    }
    cout<<op<<endl;
	return 0; 	
}