AT_agc030_d [AGC030D] Inversion Sum题解

AT_agc030_d [AGC030D] Inversion Sum

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的整数序列 $A_1,A_2,\dots ,A_N$。你需要依次进行 $Q$ 次操作。第 $i$ 次操作由两个整数 $X_i,Y_i$ 给出，你可以从以下两种操作中恰好选择一种执行：

• 交换 $A_{X_i}$ 和 $A_{Y_i}$ 的值；
• 什么都不做。

所有操作的执行方式共有 $2^Q$ 种。请你求出对于所有可能的操作方式，最终得到的序列的逆序对数之和，并对 $10^9+7$ 取模。

其中，序列 $P_1,P_2,\dots ,P_M$ 的逆序对数定义为满足 $1\le i<j\le M$ 且 $P_i>P_j$ 的整数对 $(i,j)$ 的个数。

输入格式

输入从标准输入读入，格式如下：

$N$ $Q$
$A_1$ $A_2$ $\dots$ $A_N$
$X_1$ $Y_1$
$⋮$
$X_Q$ $Y_Q$

输出格式

输出所有可能的最终序列的逆序对数之和对 $10^9+7$ 取模的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 2
1
2
3
1 2
1 3

输出 #1

6

输入输出样例 #2

输入 #2

5 3
3
2
3
1
4
1 5
2 3
4 2

输出 #2

36

输入输出样例 #3

输入 #3

9 5
3
1
4
1
5
9
2
6
5
3 5
8 9
7 9
3 2
3 8

输出 #3

425

说明/提示

限制条件

• $1\le N\le 3000$
• $0\le Q\le 3000$
• $0\le A_i\le 10^9(1\le i\le N)$
• $1\le X_i,Y_i\le N(1\le i\le Q)$
• $X_i\ne Y_i(1\le i\le Q)$
• 输入均为整数

样例说明 1

所有可能的操作方式如下，共有 $4$ 种：

• 第 $1$ 次和第 $2$ 次都什么都不做。最终序列为 $1,2,3$，逆序对数为 $0$。
• 第 $1$ 次什么都不做，第 $2$ 次交换。最终序列为 $3,2,1$，逆序对数为 $3$。
• 第 $1$ 次交换，第 $2$ 次什么都不做。最终序列为 $2,1,3$，逆序对数为 $1$。
• 第 $1$ 次和第 $2$ 次都交换。最终序列为 $3,1,2$，逆序对数为 $2$。

这几种情况下逆序对数之和为 $0+3+1+2=6$，输出 $6$。

由 ChatGPT 4.1 翻译

思路

直接DP，设$f_{i,j}$为i<j概率，然后求和即可。

代码见下

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
long long n,mod=1e9+7,a[3005],q,x[3005],y[3005],f[3005][3005],g[3005][3005],op=0,op2=1;
int main(){
	cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=q;i++){
        cin>>x[i]>>y[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(a[i]<a[j]){
                f[i][j]=1;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=q;i++){
        op2=op2*2ll%mod;
        f[x[i]][y[i]]=f[y[i]][x[i]]=(f[x[i]][y[i]]+f[y[i]][x[i]])*500000004ll%mod;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(j!=y[i]&&j!=x[i]){
                f[x[i]][j]=f[y[i]][j]=(f[x[i]][j]+f[y[i]][j])*500000004ll%mod;
                f[j][x[i]]=f[j][y[i]]=(f[j][x[i]]+f[j][y[i]])*500000004ll%mod;                
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i-1;j++){
            op=(op+f[i][j])%mod;
        }
    }
    cout<<op*op2%mod<<endl;
	return 0; 	
}