[Wf2016]Branch Assignment题解

P6918 [ICPC 2016 WF] Branch Assignment

题目描述

创新消费品公司（ICPC）计划启动一个绝密项目。该项目由 $s$ 个子项目组成。将有 $b\ge s$ 个 ICPC 的分支机构参与此项目，ICPC 希望将每个分支机构分配给一个子项目。换句话说，这些分支机构将形成 $s$ 个不相交的组，每个组负责一个子项目。

每个月底，每个分支机构将向其组内的每个其他分支机构发送一条消息（每个分支机构接收不同的消息）。ICPC 有一个特定的通信协议。每个分支机构 $i$ 有一个只有该分支机构和 ICPC 总部知道的密钥 $k_i$。假设分支机构 $i$ 想要向分支机构 $j$ 发送消息。分支机构 $i$ 用其密钥 $k_i$ 加密消息。一个可信的信使从该分支机构取走消息并将其交付给 ICPC 总部。总部用密钥 $k_i$ 解密消息，并用密钥 $k_j$ 重新加密。然后信使将这个新加密的消息交付给分支机构 $j$，分支机构 $j$ 用其自己的密钥 $k_j$ 解密。出于安全原因，信使一次只能携带一条消息。

给定一个道路网络以及分支机构和总部在此网络中的位置，你的任务是确定信使在所有可能的分支机构到子项目的分配中，传递所有月底消息所需的最小总距离。

输入格式

输入的第一行包含四个整数 $n$、$b$、$s$ 和 $r$，其中 $n$ ($2\le n\le 5000$) 是交叉路口的数量，$b$ ($1\le b\le n-1$) 是分支机构的数量，$s$ ($1\le s\le b$) 是子项目的数量，$r$ ($1\le r\le 50000$) 是道路的数量。交叉路口编号从 $1$ 到 $n$。分支机构位于交叉路口 $1$ 到 $b$，总部位于交叉路口 $b+1$。接下来的 $r$ 行中的每一行包含三个整数 $u$、$v$ 和 $\ell$，表示从交叉路口 $u$ 到不同交叉路口 $v$ ($1\le u,v\le n$) 的一条单向道路，长度为 $\ell$ ($0\le \ell \le 10000$)。没有有序对 $(u,v)$ 会出现多次，并且从任何交叉路口都可以到达每个其他交叉路口。

输出格式

输出信使需要行驶的最小总距离。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 4 2 10
5 2 1
2 5 1
3 5 5
4 5 0
1 5 1
2 3 1
3 2 5
2 4 5
2 1 1
3 4 2

输出 #1

13

输入输出样例 #2

输入 #2

5 4 2 10
5 2 1
2 5 1
3 5 5
4 5 10
1 5 1
2 3 1
3 2 5
2 4 5
2 1 1
3 4 2

输出 #2

24

说明/提示

时间限制：2000 毫秒，内存限制：1048576 kB。

国际大学生程序设计竞赛（ACM-ICPC）世界总决赛 2016。

题面翻译由 ChatGPT-4o 提供。

思路

动态规划
决策单调性
杂项
wqs二分

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,b,s,r,a[5005],aa[5005],uu,vv,ee,f[5005],df[100005];
struct one{
    long long u,e;
};
vector<one> v[5005];
vector<one> vx[5005];
bool operator<(one a1,one b1){
    return a1.e>b1.e;
}
priority_queue<one> q;
void abc(long long l,long long r,long long x,long long y){
	if(l>=r+1){
		return ;
	}
    if(r-l+1<=5||y-x+1<=5){
        for(int i=l;i<=r;i++){
            df[i]=1e18+7;
            for(int j=x;j<=min(i-1ll,y);j++){
                df[i]=min(df[i],f[j]+(a[i]-a[j])*(i-j-1));
            }
        }
        return ;
    }
	long long mid=(l+r)/2,p;
	df[mid]=1e18+7;
	for(int i=x;i<=min(mid,y);i++){
		if(f[i]+(a[mid]-a[i])*(mid-i-1)<=df[mid]-1){
			df[mid]=f[i]+(a[mid]-a[i])*(mid-i-1);
			p=i;
		}
	}
	abc(l,mid-1,x,p);
	abc(mid+1,r,p,y);
	return ;
}
int main(){
    cin>>n>>b>>s>>r;
    for(int i=1;i<=r;i++){
        cin>>uu>>vv>>ee;
        v[uu].push_back({vv,ee});
        vx[vv].push_back({uu,ee});
    }
    memset(a,62,sizeof(a));
    q.push({b+1,0});
    a[b+1]=0;
    while(q.size()!=0){
        long long a1=q.top().u;
        //cout<<a1<<endl;
        q.pop();
        for(int i=0;i<v[a1].size();i++){
            one tt=v[a1][i];
            if(a[tt.u]>=a[a1]+tt.e+1){
                a[tt.u]=a[a1]+tt.e;
                q.push({tt.u,a[tt.u]});
            }
        }
    }
    memset(aa,62,sizeof(aa));
    q.push({b+1,0});
    aa[b+1]=0;
    while(q.size()!=0){
        long long a1=q.top().u;
        //cout<<a1<<endl;
        q.pop();
        for(int i=0;i<vx[a1].size();i++){
            one tt=vx[a1][i];
            if(aa[tt.u]>=aa[a1]+tt.e+1){
                aa[tt.u]=aa[a1]+tt.e;
                q.push({tt.u,aa[tt.u]});
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=b;i++){
        a[i]+=aa[i];
    }
    //cout<<f[b][s]<<endl;
    sort(a+1,a+b+1);
    a[0]=0;
    for(int i=1;i<=b;i++){
        
        a[i]=a[i-1]+a[i];
        //cout<<i<<" "<<a[i]<<endl;
    }
    memset(f,62,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int j=1;j<=s;j++){
        abc(1,b,0,b);
        for(int i=0;i<=b;i++){
            f[i]=df[i];
        }
    }
    cout<<f[b]<<endl;
	return 0;
}