[Poi2011]Lightning Conductor题解

P3515 [POI 2011] Lightning Conductor

题目描述

逐渐变化的气候迫使 Byteburg 当局建造一个巨大的避雷针，以保护城市内的所有建筑物。

这些建筑物沿着一条街道排成一行，编号从 $1$ 到 $n$。

建筑物和避雷针的高度是非负整数。

Byteburg 的资金有限，只能建造一个避雷针。

而且，正如你所料，避雷针越高，成本越高。

位于建筑物 $i$（高度为 $h_i$）屋顶上的高度为 $k$ 的避雷针可以保护建筑物 $j$（高度为 $h_j$），如果满足以下不等式：

$$k+h_i\ge h_j+\sqrt{|i-j|}$$

其中 $|i-j|$ 表示 $i$ 和 $j$ 之间的绝对差值。

Byteburg 的市长 Byteasar 请求你的帮助。

编写一个程序，对于每个建筑物 $i$，确定如果将避雷针放在建筑物 $i$ 上，能够保护所有建筑物的避雷针的最小高度。

输入格式

标准输入的第一行有一个整数 $n$ ($1\le n\le 500,000$)，表示 Byteburg 中的建筑物数量。

接下来的 $n$ 行中的每一行包含一个整数 $h_i$ ($0\le h_i\le 1,000,000$)，表示第 $i$ 个建筑物的高度。

输出格式

你的程序应输出恰好 $n$ 行到标准输出。

第 $i$ 行应给出一个非负整数 $k_i$，表示第 $i$ 个建筑物上避雷针的最小高度。

输入输出样例 #1

输入 #1

6
5
3
2
4
2
4

输出 #1

2
3
5
3
5
4

说明/提示

题面翻译由 ChatGPT-4o 提供。

思路

动态规划
决策单调性

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n;
double a[500005],f[500005],sq[500005];
void abc(long long l,long long r,long long x,long long y){
	if(l>=r+1){
		return ;
	}
	long long mid=(l+r)/2,p;
	double ma=0.00;
	for(int i=x;i<=min(mid,y);i++){
		if(a[i]+sq[mid-i]>ma){
			ma=a[i]+sq[mid-i];
			p=i;
		}
	}
	if(ma>f[mid]){
		f[mid]=ma;
	}
	abc(l,mid-1,x,p);
	abc(mid+1,r,p,y);
	return ;
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		sq[i]=sqrt(i);
	}
	abc(1,n,1,n);
	for(int i=1;i<=n/2;i++){
		swap(a[i],a[n-i+1]);
		swap(f[i],f[n-i+1]);
	}
	abc(1,n,1,n);
	for(int i=1;i<=n/2;i++){
		swap(a[i],a[n-i+1]);
		swap(f[i],f[n-i+1]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<(long long)ceil(f[i])-(long long)a[i]<<endl;
	}
	return 0;
}