[ICPC 2024 Chengdu R] Good Partitions题解

P15080 [ICPC 2024 Chengdu R] Good Partitions

题目描述

Lawliet 拥有一个长度为 $n$ 的数字序列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，他希望知道「好数字」的个数。

定义一个整数 $k$ 是「好数字」，如果它满足以下条件：

• $1\le k\le n$；
• 将序列 $a$ 依据 $k$ 按照以下划分方法分成若干份后，每一份序列都是单调不降的。

划分方法为：

• 将序列 $a$ 分成 $\lceil \frac{n}{k}\rceil$ 份；
• 对于第 $i$ 份（$1\le i\le \lceil \frac{n}{k}\rceil -1$），包含的元素是 $a_{(i-1)\times k+1},a_{(i-1)\times k+2},\dots ,a_{i\times k}$；
• 对于第 $\lceil \frac{n}{k}\rceil$ 份，包含的元素是 $a_{(\lceil \frac{n}{k}\rceil -1)\times k+1},\dots ,a_n$。

Lawliet 认为这个问题太过简单了，于是他会进行 $q$ 次修改，每次修改会给出两个正整数 $p$ 和 $v$，然后将 $a_p$ 的数值修改为 $v$。

Lawliet 需要你帮助计算，对于未进行任何修改前以及序列 $a$ 每次修改后，满足上述条件的「好数字」的个数。

输入格式

第一行包含一个整数 $t$（$1\le t\le 10$），代表测试组数。

对于每组测试数据，第一行包含两个整数 $n$（$1\le n\le 2\cdot 10^5$）和 $q$（$1\le q\le 2\cdot 10^5$），分别表示序列的长度和修改次数。

第二行包含 $n$ 个整数，表示序列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$（$1\le a_i\le 2\cdot 10^9$）。

接下来的 $q$ 行，每行包含两个整数 $p$（$1\le p\le n$）和 $v$（$1\le v\le 2\cdot 10^9$），表示将序列中的第 $p$ 个位置的元素修改为 $v$。

单个测试点中 $n$ 之和与 $q$ 之和均不超过 $2\cdot 10^5$。

输出格式

对于每组测试数据，输出 $q+1$ 行，分别代表未进行任何修改前以及序列 $a$ 每次修改后，序列中的「好数字」的个数。

输入输出样例 #1

输入 #1

1
5 2
4 3 2 6 1
2 5
3 5

输出 #1

1
2
3

思路

可以发现，值为上升的所有段的gcd，线段树维护即可。

代码见下

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int t,n,q,a[200005],pp,uu,te[800005],d[200005];
inline int gcd(int a,int b){
	if(a==0||b==0){
		return max(a,b);
	}
	else{
		return __gcd(a,b);
	}
}
inline void bu(int a1,int l,int r){
	if(l==r){
		if(a[l]>=a[l+1]+1){
			te[a1]=l;
		}
		else{
			te[a1]=0;
		}
		return ;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	bu(a1*2,l,mid);
	bu(a1*2+1,mid+1,r);
	te[a1]=gcd(te[a1*2],te[a1*2+1]);
	return ;
}
inline void ci(int a1,int l,int r,int x,int v){
	if(l>=x&&r<=x){
		te[a1]=v;
		return ;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	if(x<=mid){
		ci(a1*2,l,mid,x,v);
	}
	else{
		ci(a1*2+1,mid+1,r,x,v);
	}
	te[a1]=gcd(te[a1*2],te[a1*2+1]);
	return ;
}
int main(){
	cin>>t;
	for(int i=1;i<=200000;i++){
		for(int j=1;j*j<=i;j++){
			if(i%j==0){
				d[i]++;
				if(j*j!=i){
					d[i]++;
				}
			}
		}
	}
	while(t--){
		cin>>n>>q;
		d[0]=n;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
		}
		if(n==1){
			cout<<1<<'\n';
			while(q--){
				cin>>pp>>uu;
				cout<<1<<'\n';
			}
			continue;
		}
		bu(1,1,n-1);
		cout<<d[te[1]]<<endl;
		while(q--){
			cin>>pp>>uu;
			if(pp>=2&&a[pp-1]>=a[pp]+1&&a[pp-1]<=uu){
				ci(1,1,n-1,pp-1,0);
			}
			if(pp<=n-1&&a[pp]>=a[pp+1]+1&&a[pp+1]>=uu){
				ci(1,1,n-1,pp,0);
			}
			if(pp>=2&&a[pp-1]<=a[pp]&&a[pp-1]>=uu+1){
				ci(1,1,n-1,pp-1,pp-1);
			}   
			if(pp<=n-1&&a[pp]<=a[pp+1]&&a[pp+1]<=uu-1){
				ci(1,1,n-1,pp,pp);
			}
			a[pp]=uu;
			cout<<d[te[1]]<<"\n";
		}
	}
	return 0; 	
}