对数

如果a的n次方等于x（a大于0，且a不等于1），那么数n叫做以a为底x的对数（logarithm），记作n=㏒ax其中，a叫做对数的底数，x叫做真数,n叫做“以a为底x的对数”。

1. 特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把记为lg。
2. 称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并把记为ln。
3. 零没有对数.^[1]
4. 在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数有对数。

 

基本性质

如果

，且

，M>0，N>0，那么：

1、a^log_a N=N （对数恒等式）

证：设a^t=N，（t∈R）

则有log_aN=t

a^t=a^(log_aN)=N.

即证.^[2]

2、log_aa=1

证：因为a^b=a^b

令t=a^b

所以a^b=t，b=log_a(t=log_aa^b

令b=1，则1=log_aa

3、log_aM·N=log_aM+log_aN

  公式5

4、log_aM/N=log_aM-log_aN

5、log_aM^n=nlog_aM

6、log_ab*log_ba=1

7、log_ab=log_cb÷log_ca （换底公式）

8. log_a1/n=-log_an

基本性质5推广

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导如下：

由换底公式

log(a^n)(b^m)=ln(b^m）÷ln(a^n)

换底公式的推导：

设e^x=b^m,e^y=a^n

则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x÷y

x=ln(b^m),y=ln(a^n)

得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m）÷ln(a^n)

由基本性质5

log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n）×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由换底公式可得

log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]