1. 超前补偿
补偿形式为$D(s)=\frac{s+z}{s+p}$
设待补偿过程为$G(s)=\frac{1}{s(s+1)}$，若不使用补偿，仅使用比例控制器，可以画出其两条根轨迹从极点0和-1向-0.5汇合，然后又分离为分别向上方和下方的两支。这样，若要求要有一定的超调，那么参数$\sigma$就只能固定为-0.5了。
为了能更好地控制超调，我们在原最左侧极点的左侧增加一个零点，按照根轨迹规则，这个零点将把根轨迹“拉”向LHP（Left Half Plane）。氮素，我们知道增加零点相当于微分，而微分会放大高频噪声，所以我们需要使用既有零点又有极点的补偿方程。这个补偿以零点为主，极点负责抵消高频增益以降低高频噪声，所以有$z<p$。当p与z较接近时，补偿器接近于单位增益，所以增加补偿后的系统根轨迹接近于比例控制器；当p逐渐远离，极点作用逐渐削弱，增加补偿后的系统根轨迹逐渐接近于纯零点补偿。分别画出比例补偿和纯零点补偿的根轨迹图，就可以推断出随p的增大，根轨迹的变化。此处图略。
因为补偿环节和PID调节具有类似的控制器形式（零点为$D$环节，极点为$I$环节），所以可以将补偿环节与PID调节相互印证，推断零点和极点位置（$D$环节和$I$环节）对Step Response响应的影响：
增加零点，相当于增加D环节。上面说了，零点会将根轨迹拉向LHP，因此（增加零点/D环节）有以下效果：
- 增加阻尼
- 有利于系统稳定
- 改善过冲
- 延长振荡时间
- 可能增加稳定时间
- 放大高频噪声
增加补偿后，原二阶系统将变为三阶系统，多了新的极点。回顾一下单位反馈系统方程：
$H(s)=\frac{DG}{1+DG}$
可看出补偿器的零点同时也是系统的零点。一般我们将补偿器的零点（即系统的新零点）和系统的新极点设计为彼此靠近，以抵消补偿器对动态特性的影响。这和直接给系统增加零点而不增加极点是不一样的：直接增加零点（微分）将增加超调。
将超前补偿写为如下形式，可以获得更多有趣的内容：
$D(s)=\frac{j\omega+z}{j\omega+p}$
因为z和p都限定为实数，所以$|D|=\frac{\sqrt{\omega^2+z^2}}{\sqrt{\omega^2+p^2}}$
从上式可以看出：在$\omega \ll z$时，控制器增益近似为$z/p$；在$\omega \gg p$时，控制器增益近似为1。而$z$的值我们上面说过了，要在过程极点的左侧，不能太小，因此，超前补偿在低频段的增益是较小的。为了提高控制器在低频段的增益（也是为了提高稳态误差常数 [ 用稳态误差公式看下便知 ] ），我们需要下面的滞后补偿。
2. 滞后补偿
滞后补偿的方程与超前补偿类似；区别在于$z>p$。滞后补偿的目的是提高低频增益，所以z和p都取得比较小（参考上面关于$|D|$的式子）。
和超前补偿一样，新增闭环极点靠近零点，（考虑分式分解，分离出该极点对应的分式，因为零点和极点都很小又彼此靠近，）此时该极点对应的瞬态响应将是一个缓慢的衰减项，虽然幅度很小，但仍将（严重？）影响系统的调节时间。
