「JOI Open 2019」三级跳 题解

https://loj.ac/p/3153

Part1 暴力

暴力思路：每次询问的时候，枚举 \(a\) 和 \(b\) 在哪里，然后就确定了 \(c\) 的范围 \([2\times b-a]\)，找这个范围内的最大的 A[c] 即可。

Part2优化

舍解

考虑哪一些 \([a,b]\) 是明显不优的。如果存在 \(i\)，满足 \(a<i<b\) 且 \(A[i]<\min(A[a],A[b])\) 那么一定可以缩小 \(a,b\) 中的一个到 \(i\)，缩小之后 \(A[a]+A[b]\) 的值更大，并且 \(b-a\) 更小（给了 \(c\) 更大的范围），所以显然原先的 \([a,b]\) 是不够优秀的。

怎么计算优秀的对？

观察发现，一个点 \(i\) 作为左端点时，第一个 \(j\) 满足 \(j>i,a[j]\ge a[i]\)，能够作为右端点。一个点 \(i\) 作为右端点时，最后一个 \(j\) 满足 \(j<i,a[j]\ge a[j]\)，能够作为左端点。其它的，\(i\) 在端点处的对都是不优的。所以，对每一个 \(i\)，找两侧距离它最近的大于 \(A[i]\) 的值作为端点。可以用单调栈，也可以用链表。

现在优秀的对的数量就是 \(O(n)\) 的。

一次询问的操作

令 \(c[i]\) 表示一个位置 \(i\) 作为 \(c\) 的最大的 \(A[a]+A[b]\).

一次询问就是要在 \([L,R]\) 范围内找最大的 \(c[i]+a[i]\)。

\(a[i]\) 已知，\(c[i]\) 怎么求？

考虑一对 \([a,b]\) 对 \(c\) 数组 的影响。

对于所有 \(i\ge 2\times b-a\) 的，\(c[i]=max(c[i],A[a]+A[b])\)

这不就是区间修改吗？

所以，我们把所有 \(a\ge L\) 的 \([a,b]\) 拿来更新 \(c\) 数组，再询问 \(c\) 数组的某一部分的最大值。单次复杂度为 \(O(n)\)

多次询问

瓶颈是：找所有 \(a\ge L\) 的 \([a,b]\)，怎么优化？离线。

把询问按左端点从大到小排序，枚举 \(L\)，加入 \(L\) 作为左端点的对，更新他们对 \(c\) 的改变。然后更新左端点为 \(L\) 的询问的答案。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=5e5+5;
int rd(){
	int x=0;bool f=0;char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0'){f|=(c=='-');c=getchar();}
	while(c<='9'&&c>='0'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
	return f?-x:x;
}
ll a[MAXN];
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
vector<pii> que[MAXN];
int n;
#define lc (u<<1)
#define rc (u<<1|1)
ll C[MAXN<<2],A[MAXN<<2];//c:当前位置作为c，可选的最大的一对数的值 C=max(c)
ll mx[MAXN<<2];//A+C的最大值
ll lz[MAXN<<2];//取max的懒惰标记
inline void upd(int u){
	A[u]=max(A[lc],A[rc]);
	C[u]=max(C[lc],C[rc]);
	mx[u]=max(mx[lc],mx[rc]);
}
void build(int u,int l,int r){
	if(l==r){
		A[u]=a[l];C[u]=0;mx[u]=A[u];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r);
	upd(u);
}
inline void to(int u,ll v){//用v更新u
	C[u]=max(C[u],v);
	mx[u]=max(mx[u],A[u]+v);
	lz[u]=max(lz[u],v);
}
inline void down(int u){
	if(!lz[u])	return;
	to(lc,lz[u]),to(rc,lz[u]);
	lz[u]=0;
}
void work(int u,int l,int r,int L,int R,int v){
	if(r<L||l>R)	return;
	if(r<=R&&l>=L){
		to(u,v);
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;down(u);
	work(lc,l,mid,L,R,v),work(rc,mid+1,r,L,R,v);
	upd(u);
}
ll getmax(int u,int l,int r,int L,int R){
	if(r<L||l>R)	return 0;
	if(r<=R&&l>=L)	return mx[u];
	int mid=l+r>>1;down(u);
	return max(getmax(lc,l,mid,L,R),getmax(rc,mid+1,r,L,R));
}
vector<int> b[MAXN];//a=i时，b[i]中的数可以作为b
int sta[MAXN],tp;
void Pre(){//计算有那些对
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(tp&&a[sta[tp]]<=a[i]){
			b[sta[tp]].push_back(i);//(sta[tp],i)
			tp--;
		}
		sta[++tp]=i;
	}
	tp=0;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		while(tp&&a[sta[tp]]<=a[i]){
			b[i].push_back(sta[tp]);
			tp--;
		}
		sta[++tp]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sort(b[i].begin(),b[i].end());
		int cnt=unique(b[i].begin(),b[i].end())-b[i].begin();
		// printf("%d\n",cnt);
		b[i].resize(cnt);
		// for(int j:b[i])	printf("%d %d\n",i,j); 
	}
}
int ans[MAXN];
int main(){
	// freopen(".in","r",stdin);
	// freopen(".out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)	a[i]=rd();
	Pre();
	int Q=rd();
	for(int i=1;i<=Q;i++){
		int l=rd(),r=rd();
		que[l].push_back({r,i});
	}
	build(1,1,n);
	for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int j:b[i])	if(2*j-i<=n)work(1,1,n,2*j-i,n,a[i]+a[j]);
		for(pii t:que[i]){
			int r=t.fi;
			ans[t.se]=getmax(1,1,n,i,r);
		}
	}
	for(int i=1;i<=Q;i++)	printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}