P3356 火星探测题解

part1 费用流建图

比较显然，把车的数量当成流量，把捡到的石头数量当成费用。然后跑最大费用最大流。

因为费用是针对点而不是边，所以要拆点，每个点分为入点和出点。

• 对于向下走，向右走建边：从起点的出点向终点的入点连边，容量为 \(inf\)，费用为 \(0\)。
• 对于每一个格子，如果当前格子是石头，那么我们想要的效果是，可以经过无数次，但是只有第一次能得到费用，所以我们把经过这个点的情况分为两种：第一次和第二次及之后。所以从入点到出点建两条边，一条边容量为 \(1\)，费用为 \(1\)，一条边容量为 \(inf\)，费用为 \(0\)。
• 对于每一个格子，如果当前点是障碍，不连接入点和出点，以达到不能经过的效果。
• 对于每一个格子，如果当前格子是空格，从入点到出点建一条容量为 \(inf\)，费用为 \(0\)。表示可以无数次经过，但是没有费用。

part2 找方案

网络流找方案的做法是什么？在残留网络上，如果一条正向边对应的反向边的容量大于 \(0\)，那么流经这条边的流量就为其反向边的容量。

费用流也是一样的。

所以我们找到那些有流量的边，这些边就是机器人经过的边，建一个新图，在图上跑 DFS 即可。

part3 一些细节

注意到题目中的要求是 “使到达传送器的探测车的数量最多，而且探测车采集到的岩石标本的数量最多”。

在费用流中，如果没有负权边，那么一定是流量越大，最大费用越大。相应的，在本题中，探测车的数量越多，采到的岩石标本一定单调不减，所以直接跑最大费用流是没有问题的。

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注意原题中格子的标号方式与普遍的标号方式不同。

Code

// 2024.2.1 20.02
// 20:35 first test 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=5005,MAXM=1e5+5;
struct E{int nxt,to,cap,w;}e[MAXM];
int head[MAXN];
int cnt=1;
void add(int u,int v,int cap,int w){
    e[++cnt]={head[u],v,cap,w};head[u]=cnt;
    e[++cnt]={head[v],u,0,-w};head[v]=cnt;
}
int dis[MAXN],flow[MAXN];
bool in[MAXN];
int las[MAXN];
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,S,T;
bool spfa(){
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++)   dis[i]=-INF,flow[i]=0;
    flow[S]=INF,dis[S]=0;
    q.push(S),in[S]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();in[u]=0;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]<dis[u]+e[i].w&&e[i].cap){
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                flow[v]=min(flow[u],e[i].cap);
                las[v]=i;
                if(!in[v])  q.push(v),in[v]=1;
            }
        }
    } 
    return dis[T]>-INF;
}
void EK(int &ans,int &cost){
    ans=cost=0;
    while(spfa()){
        int dlt=flow[T];
        ans+=dlt,cost+=dis[T]*dlt;
        int u=T;
        while(u!=S){
            int i=las[u];
            e[i].cap-=dlt,e[i^1].cap+=dlt;
            u=e[i^1].to;
        }
    }
}
int N,M,K;
int id(int x,int y,int z){return (x-1)*M+y+z*N*M;}
int dir[4][2]={{0,1},{1,0}};
int mp[55][55];
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
vector<pii> G[MAXN];
int Print;
void dfs(int u){
    int y=(u%M==0?M:u%M);
    for(pii &t:G[u]){
        int v=t.fi;
        if(!t.se)   continue;
        int ty=(v%M==0?M:v%M);
        if(y==ty)   printf("%d 0\n",Print);
        else printf("%d 1\n",Print);
        dfs(v);
        t.se--;
        break;
    }
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen(".in","r",stdin);
        freopen(".out","w",stdout);
    #endif
    scanf("%d%d%d",&K,&M,&N);
    n=N*M*2+2;S=n-1,T=n;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=1;j<=M;j++){
            int v;scanf("%d",&v);
            if(v==1)    continue;
            mp[i][j]=v;
            
            add(id(i,j,0),id(i,j,1),INF,0);
            if(v==2)    add(id(i,j,0),id(i,j,1),1,1);
            for(int k=0;k<=1;k++){
                int di=i+dir[k][0],dj=j+dir[k][1];
                if(di<1||dj<1||di>N||dj>M)  continue;
                add(id(i,j,1),id(di,dj,0),INF,0);
            }
        }
    }
    add(S,id(1,1,0),K,0);
    add(id(N,M,1),T,K,0);
    
    int ans,cost;
    EK(ans,cost);
    for(int i=2;i<=cnt;i+=2){
        int u=e[i^1].to,v=e[i].to;
        if(v>=1&&v<=N*M&&u>=N*M+1&&u<=N*M*2){//从出点到入点的边
            if(e[i^1].cap)    G[u-M*N].push_back({v,e[i^1].cap});
        }
    }
    for(Print=1;Print<=ans;Print++){
        dfs(1);
    }
    return 0;
}