霍尔定理

霍尔定理

前置芝士/约定：

应用在二分图匹配中，设当前二分图的两部为 \(A,B\) 部。

• 现在任意从 \(A\) 中选出一个子集 \(S\)，并且把所有 \(S\) 中的点连接的，\(B\) 部中的点放进集合 \(T\)。

• 完美匹配指 \(A\) 中的所有点都可以被匹配。

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参考博客（带证明）

定理1

若对于 \(\forall S,|S| \leq |T|\)，则二分图存在完美匹配。

条件结论交换依然成立，若二分图存在完美匹配，\(\forall S,|S| \leq |T|\)。

定理2

若对于一个定值 \(k\), \(\forall S,|S|-k \leq |T|\)，则二分图匹配中 \(A\) 部至少可以匹配 \(|A|-k\) 个。

条件结论交换依然成立

定理3

定理3是针对另一种匹配，如果现在匹配的规则改为了： 一个 \(A\) 中的点可以匹配 \(k\) 个 \(B\) 中的点。

若 \(\forall S,|S|\times k \leq |T|\)，则存在完美匹配。

条件结论交换依然成立。