博弈论

一、Nim游戏及SG函数

这篇博客很详细：https://blog.csdn.net/Qiuker_jl/article/details/111302386

个人认为，sg函数的难点在于如何划分大游戏为子游戏，“子游戏”要求不能相互影响。

Nim游戏是SG函数的最基础的应用。通过Nim游戏可以更容易地理解SG函数。

例题：

板：「BZOJ1874 BeiJing2009 WinterCamp」取石子游戏

[POI2000] 条纹 :和单个取数游戏很像，区别是取完一个数，会把整段区间分成两个小区间。把一段区间看成一个独立子游戏，在区间中的某一段涂上颜色之后，会把区间分成两个小段，显然这两个小区间不会相互影响，根据SG定理，用两段子区间的SG异或值去更新大区间的SG值。

二、阶梯博弈:

把一些位置视为“废弃”位置，满足两个条件：

1. 棋子只能从废弃位置移动到非废弃位置，或从非废弃位置移动到废弃位置。

2. 保证后手将棋子从“废弃”位置移动到“非废弃位置”时，先手一定可以在把该棋子移入“废弃位置”。

必胜策略为：把非废弃位置上的棋子 移动到 废弃位置，可以视为删除了这个棋子。所以就等价于“只有非废弃位置”的Nim游戏。若非废弃位置上的sg函数异或和为0，则先手必败，否则先手必胜。先手必胜时，策略与Nim游戏相同。

应用：

1. POJ1704 板题

2. 「HDU5996」Dingyeye Loves Stone：题意：有⼀颗 \(n\) 个节点的树， \(1\) 号点为根节点，其他点上分别放有若⼲个⽯⼦，两个⼈轮流操作，每次可以将某个节点上的若⼲个⽯⼦移动到这个节点的⽗亲上⾯，⽆法操作者负，问先⼿是否必胜。

3. HDU3389:有 \(n\)个盒⼦编号 ，每个盒⼦⾥都有⼀些卡牌。每次可以选择⼀个⾮空盒⼦ \(A\)，拿任意个盒⼦⾥⾯的球到盒⼦ \(B\)，\(A,B\) 盒⼦的编号必须满⾜（ B<A && (A+B)%2=1 && (A+B)%3=0 ）。两个⼈轮流操作，谁不能操作就输，问谁会赢。
   把编号条件限制翻译：转移只会发生在1-2,0-3,4-5 之间（这里指的时 \(\mod 6\) 的余数）。把\(1,3,4\) 定为 “非废弃位置”

三、对称博弈:

和阶梯博弈一样，也是一种套路，但是这种套路只适用于“大部分情况”后手取胜。

必胜策略为：将游戏划分为对称的两个部分，后手一直“跟着先手”。先手怎么走，后手就在其对称点走。直到游戏结束。

例：POJ2484

四、常见tips

• 从小规模数据分析 \(N,P\) 状态的转移特点，找出数学规律，然后直接求解大规模数据的值
• 用递推，从终止局面开始，按 \(N,P\) 状态相互转移的规律，逐步递推，最终求出初始局面的状态