斜率优化

斜率优化

大致思想：

将决策点视为若干二维平面上的点，将当前点的已知条件视为斜率，将 \(dp_i\) 视为截距。寻找经过某个点且斜率一定的直线的最小截距。（寻找最大截距时需要将 \(dp\) 取负，转化为最小，这样维护的凸包就始终是下凸包）

k,b,y的转换

转换的常见思路：若 \(i\) 为当前点，\(j\) 为最优决策点。把只与 \(j\) 有关的部分设为 \(Y(j)\)；把 “由 \(i\),\(j\) 决定的部分中 \(y\) 的部分设为 \(X(j)\)”；把“由 \(i\),\(j\) 决定的部分中 \(i\) 的部分设为 \(K(i)\)”；把只与 \(i\) 有关的部分设为 \(b\).当然，有一些题目可能涉及到常数的计算，放入哪个部分都是可以的，为了方便，我常把它放入 \(b\)中.

实例:dp[i] = dp[j] - A * (s[i] - s[j]) * (s[i] - s[j]) - B * (s[i] - s[j]) - C;假设有这样一个递推式，那么会有如下的转换:

ll getx(int i) { return s[i]; }
ll gety(int i) { return dp[i] - A * s[i] * s[i] + B * s[i]; }
ll getk(int i) { return -2 * A * s[i]; }

DP过程

写出这道题的转移方程，将方程进行一些变形后把 \(k,b,y\) 求出。

对于每一个点 \(i\):

1. 根据 \(K(i)\),求出点 \(i\) 的最优决策点 \(j\).（寻找切线的过程）
2. 将 \(i\) 对应的点\((X(i),Y(i))\) 加入平面，并维护凸包。

求最终答案。

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补充理解

参考博客

• 怎么从方程转移到凸包的？

假设要求最小的 \(dp\) 值，那等价于求 最小的\(B(i)\)。\(B(i)=Y(j)-K(i)\times X(j)\)，若当前有两个决策点 \(j,k\),且满足 \(j<k\)。当 \(k\) 比 \(j\) 更优时，满足

\[Y(k)-K(i)\times X(k) \leq Y(j)-K(i)\times X(j) \]

化简后：

\[Y(k)-Y(j)\leq K(i) \times (X(k)-X(i)) \]

\[{{Y(k)-Y(j)}\over{(X(k)-X(j))}} \leq K(i) \]

现在转化成了斜率的式子。当转化成这个式子之后，你在二维坐标系上面画图，如果有一个向上凹进去点，一定不是最优的。

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• 所有的所有都要建立在 \(X(j)\) 递增上。

化简要用除法，不等式用除法要注意符号，这解释了为什么要满足决策点的 \(X\) 有单调性。另一种理解，如果 \(X(j)\) 不递增，你加入凸包的时候就不是在维护凸包的那个队列末尾加值。不满足单调性时，要用CDQ分治。看这道题

• 怎么判断 下凸包 还是 上凸包？

假设我们设的 \(B(i)\) 当中 \(dp_i\) 的系数为正（如果为负数可以全部都乘 \(-1\) 转化一下）。如果要找 \(dp\) 最小值，就维护下凸包，否则维护上凸包。因为你看之前推的式子，第一步就是写出 \(k\) 比 \(j\) 更优的不等式，上面写的是求 \(dp\) 最小值，如果求最大值无非就是把小于号都变成大于号。

• 关于决策单调性

什么是决策单调性？决策点单调递增

当问题有 决策单调性 的时候，可以用单调队列。没有决策单调性？还是正常用队列维护凸包，但是用二分找最优决策点。怎么判断有没有决策单调性？看 \(K(i)\) 是否有单调性即可。

凸包的维护：

根据上文的两个单调性，判断出选择哪一种维护凸包的方式

1. 队列。条件：满足 \(X(j)\) 单调递增。
2. 单调队列。条件：满足 \(X(j)\) 单调递增，决策点单调递增。
3. 李超线段树。（适用于 \(X(j)\) 不单调递增。也可以用 CDQ 分治来做）

细节

1. 关于两个点之间的斜率式子：如果 \(X(j)\) 不是严格单调递增。可能出现两个 \(X\) 相等的情况，所以你的求斜率式子要这么写：

   inline ld k(int i,int j){
       if(X(i)==X(j))    return (Y(j)>Y(i)?(ld)INF:(ld)-INF);
       return (ld)1.0*(Y(i)-Y(j))/((ld)1.0*(X(i)-X(j)));
   }
   

   注意到了吗？当 \(i,j\) 顺序不同的时候可能会返回不一样的值哦（\(X\) 相等的情况），所以在调用这个函数的时候，要保证 \(i<j\)。如果你不这么写，会获得WA100的好成绩

2. 关于CDQ分治：先按 \(k(i)\) 排序。处理区间 \([l,r]\) 时，先递归处理 \([l,mid]\)，然后计算 \([l,mid]\) 区间内的元素对 \([mid+1,r]\) 区间内元素的贡献，就是先把左边的所有元素加到维护凸包的队列里面（边加边维护），然后再更新 \(dp_i(mid<i\leq r)\) 时，依次删除队头。递归处理 \([mid+1,r]\)。然后再按 \(X\) 的值对 \([l,r]\) 排序（可以使用归并排序）。解释：因为处理完 \([l,r]\) 后，\([l,r]\) 区间内的元素是按 \(X\) 排序，所以在计算 \([l,mid]\) 区间内的元素对 \([mid+1,r]\) 区间内元素的贡献时，左边区间满足 \(X\) 单调递增，右边区间还没有被处理，所以满足 \(k\) 单增，也就是满足决策单调性。更具体的解释还是看参考博客qwq

3. 维护队列时，不管是删队头（找最优决策点时），还是删队尾时（维护凸包），都要判断队列内的元素是否 \(>1\).只有大于 \(1\) 才有“斜率”这个说法啊，不然只有一个点怎么找斜率。