2020.11.24提高组模拟

2020.11.24【NOIP提高A组】模拟

今天分数和昨天差不多，言下之意呢，想必懂得都懂，没错我再次爆零了，(doge)

早上有点困唔，晚上还是要早点睡。\(T1\) 想了很久始终觉得是到神仙题，然后发现 \(T2\) 是到水题，码完 \(T2\) 肥来看 \(T1\)，才发现开头有一句：

\(oier\) 那么多年了我才发现 无向无环图是一个森林 ，人没了人没了，再想一想不就是树形 \(dp\) 吗，\(1h\) 风风火火打出来没调出来，最后 \(T2\) 线段树细节爆炸光荣爆零。

 

T1. 6887 路径 (path)

无向无环图是一个森林 ！无向无环图是一个森林 ！！无向无环图是一个森林 ！！！

强烈吐槽出题人不加粗不说明，甚至连 \(m\) 的范围都没给，差评！

经历了血的教训后我们终于知道了这个性质，知道后应该比较容易想到树形 \(dp\) ，问题在于怎么统计答案。

考虑枚举一个点 \(u\)，统计部分路径与 \(u\) 有关的点集的最大边权和：

• 首先设 \(f_u\) 表示以 \(u\) 为根的子树中简单路径的一端为 \(u\)，且路劲权值最大的不同点集的权值之和，为了转移及计算期望再设 \(g_u\) 为方案数。
• \(f_u, \ g_u\) 的处理应该不难，\(f_u = 2\sum \limits _{v \in son(u)}{(f_v + w(u, v) · g_v)} + dis_u\)，\(g_u = 2\sum \limits _{v \in son(u)} {g_v} + 1\)，
• 其中 \(dis_u\) 表示从 \(u\) 出发向儿子走的最长链
• 然后分不同的情况讨论：
• 1. 路径的起止点分别在 \(u\) 不同的子树中，对答案的贡献为为 \(\sum \limits _{v1, v2 \in son(u)} {(f_{v1} · g_{v2} + f_{v2} · g_{v1}) \times 2}\)，最后 \(\times 2\) 是因为 \(u\) 可以包含或不包含在点集中。
• 2. 点集包含且只包含包含 \(u\) 的某一棵子树至少一个点和 \(u\)，贡献为 \(\sum \limits _{v \in son(u)}{f_v + dis_u · g_v}\)，\(dis_u\) 要求不经过 \(v\)，所以我们需要处理出从 \(u\) 出发的最长链、次长链以及从 \(fa_u\) 到 \(u\) 的最长链。
• 3. 只包含 \(u\) 的点集，显然为 \(2\) 所说三条链中的最大的两条之和。

可以发现这样子既不会算漏也不会算重。

处理 \(f_u, \ g_u\) 的过程中已经求好了权值和与方案数，最后求逆元输出即可。

 

T2. 6888 变换 (transform)

可以发现一个性质：当有两个及以上的连续点颜色相同时，把这些连续点当成一块，块内点颜色不会改变，且每次变换块会向外扩展一个点，知道与其他快相邻。

通过以上性质可以得出答案为两块间距离除以二上取整的最大值。

很容易想到线段树维护，每个区间维护最左边的块和最右边的块，合并时判断中间是否能合成一块（注意可能将最左右的块合并），简单分类讨论即可，并且同时维护块距离的最大值。

询问答案时注意是一个环，同样简单分类讨论可以得出。

 

\(T3\)

不会，也看不懂，\(dp\) 套 \(dp\) 直接劝退，逃。

 

T4. 6890 打字机

首先我们有：1. 若当前栈顶字符匹配，那么直接输出；2. 若栈顶的下一个字符匹配，那么可以证明退栈比压栈优

所以可以得出栈内一个字符与其左右两单位内字符都不相同，也就是说栈的形态一定形如 \(XYZXYZXYZ......\)，那么便可以设 \(dp\) 记录匹配到的位置以及栈的状态，转移时注意不要漏转移方式（注意栈内只有一个字符时也可以转换形态）。

时间复杂度 \(O(|S|^2)\)