51Nod 1600 Simple KMP 解题报告
51Nod 1600 Simple KMP
对于一个字符串\(|S|\)，我们定义\(fail[i]\)，表示最大的\(x\)使得\(S[1..x]=S[i-x+1..i]\)，满足\((x<i)\)
显然对于一个字符串，如果我们将每个\(0\le i\le |S|\)看成一个结点，除了\(i=0\)以外\(i\)向\(fail[i]\)连边，这是一颗树的形状，根是\(0\)
我们定义这棵树是\(G(S)\)，设\(f(S)\)是\(G(S)\)中除了\(0\)号点以外所有点的深度之和，其中\(0\)号点的深度为\(-1\)
定义\(key(S)\)等于\(S\)的所有非空子串\(S'\)的\(f(S')\)之和
给定一个字符串\(S\)，现在你要实现以下几种操作：
1.在\(S\)最后面加一个字符
2.询问\(key(S)\bmod 10^9+7\)
发现连的是KMP的fail边，然而这个并没有什么用处，考虑某个长\(n\)的串\(S\)的\(key(S)\)实际是什么
前两个合式枚举子串，第三个枚举节点，第四个计算深度。
设
实际上计算的是钦定末尾位置，算前面的贡献。
可以得到
然后对每个串，钦定每个可以成为末尾位置的\(j\)，求和一下就成了。
如果算出了\(F[1,i]\)，显然可以算出\(key\)
相等子串个数，考虑SAM
对于某个点\(i\)，当被加入SAM的时候，对\(par\)树上的到根的链上的每个点都存在相等的串的匹配，考虑计算这条链的贡献。
链上的一个点的贡献可以被描述为\(cnt*le\)，即在\([1,i-1]\)中出现的次数和这个点\(endpos\)所代表的集合的串长个数（就是\(len[x]-len[par[x]]\)）
计算完贡献后，我们需要对这些点的\(cnt\)进行区间加\(1\)
直接用LCT或者树剖在最后离线维护即可。
Code:
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N=4e5+10;
const int mod=1e9+7;
inline void add(int &x,int y){x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
#define mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%mod)
int n;
char s[N];
int len[N],par[N],tr[N][26],pos[N],tot=1,las=1;
void extend(int c)
{
int now=++tot,p=las;
len[now]=len[p]+1;
while(p&&!tr[p][c]) tr[p][c]=now,p=par[p];
if(!p) par[now]=1;
else
{
int x=tr[p][c];
if(len[x]==len[p]+1) par[now]=x;
else
{
int y=++tot;
len[y]=len[p]+1;
par[y]=par[x];
memcpy(tr[y],tr[x],sizeof tr[y]);
while(p&&tr[p][c]==x) tr[p][c]=y,p=par[p];
par[x]=par[now]=y;
}
}
las=now;
}
int ch[N][2],L[N],R[N],tag[N],sum[N],dat[N],lp[N],rp[N];
#define ls ch[now][0]
#define rs ch[now][1]
#define fa par[now]
bool isroot(int now){return ch[fa][0]==now||ch[fa][1]==now;}
int identity(int now){return ch[fa][1]==now;}
void connect(int f,int now,int typ){ch[fa=f][typ]=now;}
void updata(int now)
{
sum[now]=0;
add(sum[now],sum[ls]);
add(sum[now],dat[now]);
add(sum[now],sum[rs]);
L[now]=lp[now];
if(ls) L[now]=L[ls];
R[now]=rp[now];
if(rs) R[now]=R[rs];
}
void Rotate(int now)
{
int p=fa,typ=identity(now);
connect(p,ch[now][typ^1],typ);
if(isroot(p)) connect(par[p],now,identity(p));
else fa=par[p];
connect(now,p,typ^1);
updata(p),updata(now);
}
void upt(int now,int d)
{
add(tag[now],d);
add(dat[now],mul(d,rp[now]-lp[now]));
add(sum[now],mul(d,R[now]-L[now]));
}
void pushdown(int now)
{
if(tag[now])
{
if(ls) upt(ls,tag[now]);
if(rs) upt(rs,tag[now]);
tag[now]=0;
}
}
int sta[N],ct;
void splay(int now)
{
while(isroot(now)) sta[++ct]=now,now=fa;
sta[++ct]=now;
while(ct) pushdown(sta[ct--]);
now=sta[1];
for(;isroot(now);Rotate(now))
if(isroot(fa))
Rotate(identity(now)^identity(fa)?now:fa);
}
void access(int now)
{
for(int las=0;now;las=now,now=fa)
splay(now),rs=las,updata(now);
}
int qry(int now)
{
access(now),splay(now);
return sum[now];
}
void modi(int now)
{
access(now),splay(now);
upt(now,1);
}
int main()
{
scanf("%d%s",&n,s+1);
for(int i=1;i<=n;i++) extend(s[i]-'a'),pos[i]=las;
//for(int i=2;i<=tot;i++) printf("%d %d\n",par[i],i);
//for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",pos[i]);puts("");
int ans=0,yuu=0;
for(int i=1;i<=tot;i++)
lp[i]=L[i]=len[par[i]],rp[i]=R[i]=len[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
add(ans,qry(par[pos[i]]));
modi(pos[i]);
add(yuu,ans);
printf("%d\n",yuu);
}
return 0;
}
2019.5.3
