重返现世 解题报告

重返现世

kthmin-max容斥板子题

题目要求至少得到\(k\)种东西的期望时间，转换后是求得到全集倒数第\(k\)个获得的东西的期望时间，然后可以套式子了

\[\begin{aligned} \max_k(S)&=\sum_{\varnothing\not=T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T)\\ &=\sum_{\varnothing\not=T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\frac{m}{\sum \limits_{i\in T}p_i} \end{aligned} \]

然后我们这个答案式子做dp

\(dp_{i,j,k}\)代表前\(i\)个东西处理后\(\sum p=j\)且为求\(kmax\)的贡献值

这里说一下第三个状态，这个\(k\)其实就是式子里面的\(k\)，我们设它只是为了转移这个组合式子而已（利用组合数的递推式子）

转移有

\[dp_{i,j,k}=dp_{i-1,j,k}-dp_{i-1,j-p_i,k}+dp_{i-1,j-p_i,k-1} \]

初始状态

\[dp_{i,0,0}=1 \]

目标

\[\sum_{i=1}^m\frac{m}{i}dp_{n,i,k} \]

然后滚动一下数组就好了

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Code:

#include <cstdio>
#include <cctype>
template <class T>
void read(T &x)
{
    x=0;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
}
const int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
int n,m,K,dp[2][10010][11],p[10010],cur;
int main()
{
	read(n),read(K),read(m);
	K=n-K+1;
	for(int i=1;i<=n;i++) read(p[i]);
	dp[0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cur^=1;
		for(int j=0;j<=m;j++)
			for(int k=0;k<=K;k++)
			{
				dp[cur][j][k]=dp[cur^1][j][k];
				if(j>=p[i]&&k)
                {
                    dp[cur][j][k]=add(dp[cur][j][k],mod-dp[cur^1][j-p[i]][k]);
                    dp[cur][j][k]=add(dp[cur][j][k],dp[cur^1][j-p[i]][k-1]);
                }
			}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++) ans=add(ans,mul(m,mul(qp(i,mod-2),dp[cur][i][K])));
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

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2019.3.2