【ZOJ3899】State Reversing 解题报告

【ZOJ3899】State Reversing

Description

有\(N\)个不同的怪兽，编号从\(1\) 到\(N\)。Yukari有\(M\)个相同的房间，编号为\(1\)到\(M\)。每个房间是无限大的，每个房间有两种状态：可以住或者不可以住（一开始所有的房间都可以住）。Yukari每天都会选定一个区间 \([l,r]\)，把编号在这个区间的房间状态反转（可以住改成不可以住，不可以住改成可以住）。怪兽只能住在“可以住”的房间。每间“可以住”的房间至少有一个怪兽。

Yukari想知道，每次反转后，有多少种方法为这些怪兽分配房间。两种方法（方法\(A\)和方法\(B\)）认为是同种方法当且仅当对于方案\(A\)中任意一个房间\(x\)，在方案\(B\)中存在一个房间\(y\)使得房间\(x\)和房间\(y\)住的怪兽的编号集合是一样的。换句话说，房间是相同的。

Input

第一行一个整数 \(T(T≤5)\) ，表示数据组数。

接下来三个整数 \(N,M,Q(1≤M≤N≤10^5,Q≤10^5)\) ，分别表示怪兽数、房间数、操作次数。

接下来\(Q\)行，每行两个整数 \(l,r(1≤l≤r≤M)\) ，表示Yukari会反转区间 \([l,r]\) 的状态。

方案数对\(880803841\)取模

Output

对于每次操作，输出进行反转操作后为怪兽分配房间的方案数。

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把\(n\)个有标号的球求放到\(m\)个无标号的非空盒子里，发现就是第二类斯特林数，因为\(m\)会变，所以等价于求斯特林行。

先考虑求出\(n\)个有标号的球出放到\(m\)个有标号的非空盒子里，即为\({n \brace m}m!\)

设

\[f_i={n \brace i}i! \]

考虑进行容斥，设\(g_i\)代表\(n\)个有标号的球放到\(i\)个有标号的盒子里的方案数，则有

\[g_i=i^n \]

显然有

\[g_k=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}f_i \]

二项式反演

\[\begin{aligned} f_k&=\sum_{i=0}^k(-1)^i\binom{k}{i}g_{k-i}\\ &=\sum_{i=0}^k(-1)^i\frac{k!}{(k-i)!i!}(k-i)^n\\ &=k!\sum_{i=0}^k\frac{(-1)^i}{i!}\frac{(k-i)^n}{(k-i)!} \end{aligned} \]

所以

\[{n\brace k}=\sum_{i=0}^k\frac{(-1)^i}{i!}\frac{(k-i)^n}{(k-i)!} \]

然后卷一下子就行了，维护用个线段树就好

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int mod=880803841,G=26,Gi=711418487;
const int N=1e5+10;
#define add(a,b) ((a+b)%mod)
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
int n,m,q,a[N<<3],b[N<<3],turn[N<<3],fac[N<<3],len,L;
void NTT(int *a,int typ)
{
    for(int i=1;i<len;i++) if(i<turn[i]) std::swap(a[i],a[turn[i]]);
    for(int le=1;le<len;le<<=1)
    {
        int wn=qp(typ?G:Gi,(mod-1)/(le<<1));
        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
        {
            int w=1;
            for(int i=p;i<p+le;i++,w=mul(w,wn))
            {
                int tx=a[i],ty=mul(w,a[i+le]);
                a[i]=add(tx,ty);
                a[i+le]=add(tx,mod-ty);
            }
        }
    }
    if(!typ)
    {
        int inv=qp(len,mod-2);
        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],inv);
    }
}
int sum[N<<2],tag[N<<2];
#define ls id<<1
#define rs id<<1|1
void build(int id,int l,int r)
{
    tag[id]=0,sum[id]=r+1-l;
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
}
void pushdown(int id,int l,int r)
{
    if(tag[id])
    {
        int mid=l+r>>1;
        sum[ls]=mid+1-l-sum[ls];
        sum[rs]=r-mid-sum[rs];
        tag[ls]^=1,tag[rs]^=1,tag[id]^=1;
    }
}
void change(int id,int L,int R,int l,int r)
{
    if(L==l&&R==r)
    {
        sum[id]=R+1-L-sum[id];
        tag[id]^=1;
        return;
    }
    pushdown(id,L,R);
    int Mid=L+R>>1;
    if(r<=Mid) change(ls,L,Mid,l,r);
    else if(l>Mid) change(rs,Mid+1,R,l,r);
    else change(ls,L,Mid,l,Mid),change(rs,Mid+1,R,Mid+1,r);
    sum[id]=sum[ls]+sum[rs];
}
int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d",&m,&n,&q);
        len=1,L=-1;
        while(len<=m<<1) len<<=1,++L;
        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=b[i]=0,turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L;
        fac[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
        a[m]=b[m]=qp(fac[m],mod-2);
        for(int i=m-1;~i;i--) b[i]=a[i]=mul(a[i+1],i+1);
        for(int i=1;i<=m;i+=2) a[i]=mod-a[i];
        for(int i=0;i<=m;i++) b[i]=mul(b[i],qp(i,m));
        NTT(a,1),NTT(b,1);
        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],b[i]);
        NTT(a,0);
        build(1,1,n);
        for(int l,r,i=1;i<=q;i++)
        {
            scanf("%d%d",&l,&r);
            change(1,1,n,l,r);
            printf("%d\n",a[sum[1]]);
        }
    }
    return 0;
}

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2018.12.22