快速沃尔什变换

快速沃尔什变换

题目背景

模板题，无背景

题目描述

给定长度为\(2^n\)两个序列\(A,B\)，设\(C_i=\sum_{j\oplus k=i}A_jB_k\) 分别当\(\oplus\)是or,and,xor时求出\(C\)

输入输出格式

输入格式：

第一行一个数\(n\)。 第二行\(2^n\)个数\(A_0..A_{2^n-1}\) 第三行\(2^n\)个数\(B_0..B_{2^n-1}\)

输出格式：

三行每行\(2^n\)个数，分别代表\(\oplus\)是or,and,xor时\(C_0..C_{2^n-1}\)的值\(\bmod\ 998244353\)

说明

\(n\le 17\)。

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证明没怎么看懂，放结论了。

or

\[FWT(A)=(FWT(A_0),FWT(A_0+A_1)) \]

\[IFWT(A)=(IFWT(A_0),IFWT(A_1-A_0)) \]

and

\[FWT(A)=(FWT(A_0+A_1),FWT(A_1)) \]

\[IFWT(A)=(IFWT(A_0-A_1),IFWT(A_1)) \]

xor

\[FWT(A)=(FWT(A_0+A_1),FWT(A_0-A_1)) \]

\[IFWT(A)=(IFWT(A_0+A_1)/2,IFWT(A_1-A_0)/2) \]

背下来吧，像\(FFT\)那样写就好了

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Code:

#include <cstdio>
const int N=(1<<17)+10;
const int mod=998244353,inv=499122177;
int A[N],B[N],a[N],b[N],n,len;
#define add(a,b) ((a+b)%mod)
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
void orfwt(int *a,int typ)
{
    for(int le=1;le<len;le<<=1)
        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
            for(int i=p+le;i<p+(le<<1);i++)
                if(typ) a[i]=add(a[i],a[i-le]);
                else a[i]=add(a[i],mod-a[i-le]);
}
void andfwt(int *a,int typ)
{
    for(int le=1;le<len;le<<=1)
        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
            for(int i=p;i<p+le;i++)
                if(typ) a[i]=add(a[i],a[i+le]);
                else a[i]=add(a[i],mod-a[i+le]);
}
void xorfwt(int *a,int typ)
{
    for(int le=1;le<len;le<<=1)
        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
            for(int i=p;i<p+le;i++)
            {
                int tx=a[i],ty=a[i+le];
                a[i]=add(tx,ty),a[i+le]=add(tx,mod-ty);
                if(!typ) a[i]=mul(a[i],inv),a[i+le]=mul(a[i+le],inv);
            }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);len=1<<n;
    for(int i=0;i<len;i++) scanf("%d",A+i);
    for(int i=0;i<len;i++) scanf("%d",B+i);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=A[i],b[i]=B[i];
    orfwt(a,1),orfwt(b,1);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],b[i]);
    orfwt(a,0);
    for(int i=0;i<len;i++) printf("%d ",a[i]);
    puts("");

    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=A[i],b[i]=B[i];
    andfwt(a,1),andfwt(b,1);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],b[i]);
    andfwt(a,0);
    for(int i=0;i<len;i++) printf("%d ",a[i]);
    puts("");

    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=A[i],b[i]=B[i];
    xorfwt(a,1),xorfwt(b,1);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],b[i]);
    xorfwt(a,0);
    for(int i=0;i<len;i++) printf("%d ",a[i]);
    puts("");
    return 0;
}

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2018.12.18