第六章知识小结

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第六章—图

相比于之前学过的线性表和树，图更为复杂，功能也更加强大。图这一章节主要分为：定义和基本术语、存储结构、遍历、应用。

一、定义

概念就不说了，有几点需要注意的地方：

1.顶点v的度指的是和v相关联的边的数目。对于有向图，图的度是入度和出度的总和。

2.连通图和连通分量的概念要注意区分。连通图里任意两个顶点都是连通的，也就是说所有的顶点都是有通路的，而连通分量，就是无向图中的极大连通子图，可以看做是有几个独立开来的网状结构，就有多少个连通分量。

二、图的存储结构

分为邻接矩阵和邻接表，相当于线性结构和链式结构，它们各自有自己的优缺点。

	优点	缺点	适用情况	联系	时间复杂度
邻接矩阵	容易实现图的操作，如：求某顶点的度、判断顶点之间是否有边、找顶点的邻接点等等	n个顶点需要n*n个单元存储边; 空间效率为。对稀疏图而言尤其浪费空间	稠密图	邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行，链表中节点个数等于一行中非零元素的个数	O(n2)
邻接表	便于增加和删除顶点，空间效率高	不便于实现对图的操作，不便于计算又想吐各个顶点的度	稀疏图		O(n+e)

邻接矩阵比较好理解，我主要谈谈我对邻接表的理解，邻接表的存储表示包含三个结构体：

1. 表头结点表：包含数据域和链域，主要是用来记录结点信息的。

typedef struct { 
  VerTexType  data;   // 顶点信息
  ArcNode  *firstarc; 
       // 指向第一条依附该顶点的弧
  } VNode, AdjList[MVNUM];

2.边表：包含邻接点域、数据域和链域，主要是用来记录边信息的（包括权值）

typedef struct ArcNode {  
  int adjvex;   //该边所指向的顶点的位置
  struct ArcNode *nextarc; //指向下一条边的指针
  OtherInfo info;   //和边相关的信息，例如权值
} ArcNode;

3.图结构：包含了以上两种结构体和图当前的顶点数和边数

typedef struct {  
     AdjList  vertices;
     int  vexnum, arcnum;                                      
                  //顶点数和边数 
} ALGraph;

 三、图的遍历

DFS（深度优先搜索）：

1.从顶点v出发，访问v，并置visited[v]的值为true

2. 然后依次从v的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到

BFS（广度优先搜索）:

1.从图中某个顶点v出发，访问v，并置visited[v]的值为true，然后将v 进队。

2.只要队列不空，则重复下述处理：

　　（1）队头顶点u出队。

　　（2）依次检查u的所有邻接点w，如果visited[w]的值为false，则访问w，并置visited[w]的值为true，然后将w 进队。

四、图的应用

主要讲述了两个算法内容，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

 

五、代码题解—列出连通图

步骤如下：

1.建立图

2.深度优先搜索

3.重置标记数组

4.广度优先搜索

第一步 建立图

由于题目说“总是从编号最小的顶点出发，按编号递增的顺序访问邻接点。”，而且数据量不大，因此我选择了用邻接矩阵来建图。又因为在输入的时候直接输入了两个相连的顶点，因此我没有建立顶点表，直接设立了邻接矩阵。

typedef struct{
    
    int arcs[MVNum][MVNum];//邻接矩阵
    int N,E; //图的当前点数和边数 
    
}AMGraph;

//采用邻接矩阵表示法创建无向图G
void CreatUDN(AMGraph &G){ 
    
    int v1,v2,i,j,k;
    cin>>G.N>>G.E;//输入总顶点数、总边数 

    for(i=0;i<G.N;++i){//初始化邻接矩阵，将边的权值初始化为0 
        for(j=0;j<G.N;++j){
            G.arcs[i][j]=0;
        }
    }
    for(k=0;k<G.E;++k){//构造邻接矩阵 
        cin>>v1>>v2;  //输入一条边依附的两个顶点 
        G.arcs[v1][v2]=1;//置边<v1,v2>和<v2,v1>的边的权值为1 
        G.arcs[v2][v1]=1;
    }      
};

第二步 深度优先搜索

这里分为了两部分：由于可能存在多个连通分量，因此要多次调用DFS_AM函数，在这里调用多少次就说明图中有多少个连通分量。然后就是依次检查邻接矩阵v所在的行。

//采用邻接矩阵表示非连通图的深度优先搜索遍历
void DFS_AM(AMGraph G,int v){
    
    int w;
    cout<<v<<" ";
    visited[v]=true;//访问第v个顶点，并置访问标志数组相应分量的值为true 
    for(w=0;w<G.N;w++){
        if((G.arcs[v][w]!=0)&&(!visited[w]))//依次检查邻接矩阵v所在的行 
        DFS_AM(G,w);
    }//G.arcs[v][w]！=0表示w是v的邻接点，如果w未访问，则递归调用DFS_AM 
}; 

void DFSTraverse(AMGraph G){
    
    int v;
    for(v=0;v<G.N;++v){
        if(!visited[v]){
            cout<<"{"<<" ";
            DFS_AM(G,v);
            cout<<"}"<<endl;    
        }//对尚未访问的顶点调用DFS_AM 
    }
    
};

第三步 重置标记数组（这里容易忽略）

标记数组：

bool visited[MVNum]={false};//访问标志数组初始化 

重置：

//重置标志数组，使其恢复到初始化状态 
void restore(bool visited[],AMGraph G){
    int i;
    for(i=0;i<G.N;++i){
        visited[i]=false;
    }
}; 

第四步 广度优先搜索

这里我让所有的元素先入队，然后记录队列的第一个元素并进行出队，再判断出队元素的邻接点是否已经被访问过。

//采用邻接矩阵表示非连通图的广度优先搜索遍历
void BFS_AM(AMGraph G,int v){
    
    visited[v]=true;//访问第v个顶点，并置访问标志数组相应分量值为true 
    queue <int> q;//队列初始化 
    int w,u;
    q.push(v);//v进队 
    while(!q.empty()){
        w = q.front();//队头元素出队并置为w 
        q.pop();
        cout<<w<<" ";
        for(u=0;u<G.N;u++){
            if((G.arcs[w][u]!=0)&&(!visited[u])){//若i为w尚未访问的邻接顶点，则标志数组置为true，u进队 
                visited[u]=true;
                q.push(u);
            }
        } 
    }    
};

void BFSTraverse(AMGraph G){
    
    int v;
    for(v=0;v<G.N;++v){
        if(!visited[v]){
            cout<<"{"<<" ";
            BFS_AM(G,v);
            cout<<"}"<<endl;    
        }//对尚未访问的顶点调用BFS_AM 
    }
};

小结：

图这章知识点比较难理解，特别是邻接表、DFS、BFS，所以做题的进度比较慢，希望下次能够当天消化好老师上课所讲的内容，尽可能早完成所有题解。