【题解】P2303 [SDOI2012] Longge 的问题

【题解】P2303 [SDOI2012] Longge 的问题

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求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n \gcd(i,n)\)

将这个柿子展开变复杂，得到

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{d \mid n,d \mid i}d[\gcd(i,n)=d] \]

因为仅有 \(d\mid n\) 且 \(d \mid i\) 的时候可能会累加 \(d\) ，则有效的 \(i\) 一定是 \(d\) 的倍数，即 \(i = kd\)

那么原式就可以化为

\[\displaystyle\sum_{d \mid n}\sum_{k=1}^{kd\leq n} d [\gcd(kd,n)=d] \]

在这个柿子中，\(d\) 是常量，将其提出来，并将 \(kd\leq n\) 移项得 \(k \leq \dfrac{n}{d}\) 得到

\[\displaystyle\sum_{d\mid n}d\sum_k^{\frac{n}{d}}[\gcd(kd,n)=d] \]

艾弗森括号里面的也能同时除个 \(d\) 得到 \(\displaystyle\sum_{d\mid n}d\sum_k^{\frac{n}{d}}[\gcd(k,\dfrac{n}{d})=1]\)

由于 \(\displaystyle\varphi(n)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)]\)

所以原式就化成了 \(\displaystyle\sum_{d\mid n}d\times \varphi(\dfrac{n}{d})\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll getPhi(ll n){
    ll res = n;
    for(ll i = 2;i*i<=n;i++){
        if(n % i == 0) res = res / i * (i - 1);
        while(n % i == 0) n /= i;
    }
    if(n > 1) res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

ll N;

int main(){
    scanf("%lld",&N);
    ll res = 0;
    ll i = 1;
    for(;i*i<N;i++){
        if(N % i == 0) res += i * getPhi(N / i) + (N / i) * getPhi(i);
    }
    if(i * i == N) res += i * getPhi(i);
    printf("%ll\n",res);
    return 0;
}