树和二叉树

树和二叉树

  1. 树的定义

树（Tree）是由n（n≥0）个结点构成的有限集合。结点数为0的树称为空树，结点数大于0的树称为非空树

相关概念解释：

结点：由数据元素和构造数据元素之间关系的指针组成

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叶子结点和分支结点：将度为0的结点称为叶子结点，又称为终端结点。将度不为0的结点称为分支结点，又称为非终端结点（有一个孩子节点就是度为1，有两个孩子结点就是度为2，没有孩子结点就是度为0）。

孩子结点和双亲结点：某结点子树的根结点称为该结点的孩子结点。该结点称为孩子结点的双亲结点。

兄弟结点：具有同一双亲的结点互为兄弟结点

后裔和祖先：一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。该结点称为这些后裔结点的祖先

结点的层次：从根结点到树中某结点所经路径上的边数加1称为该结点的层次。根结点的层次规定为1，其他结点的层次就是其双亲结点的层次数加1

树的深度：树中所有结点的层次的最大值称为该树的深度

无序树：如果树中任意结点的各孩子结点的排列没有严格次序，可交换位置，则称该树为无序树

有序树：如果树中任意结点的各孩子结点的排列有严格的次序，不可交换位置，则称该树为有序树。在有序树中，最左边的子树的根结点称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子

森林：n（n≥0）棵树的集合称为森林

  1. 树的存储结构

存储树时，既要存储结点的数据元素，又要存储结点之间的逻辑关系。结点之间的逻辑关系有：双亲－孩子关系、兄弟关系。因此，采用树的存储结构主要有双亲表示法、孩子表示法、双亲孩子表示法和孩子兄弟表示法

  • 双亲表示法

使用指针表示每个结点的双亲结点，即双亲表示法。每个结点包含两个域：数据域和指针域

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  • 孩子表示法

使用指针表示出每个结点的孩子结点，即孩子表示法。由于每个结点的孩子结点个数不同，为了简便起见，孩子表示法中的每个结点的指针域个数是树的度

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  • 孩子兄弟表示法

采用指针既指向每个结点的孩子结点，又指向每个结点的兄弟结点，就是孩子兄弟表示法。指针域包含两个指针，指向孩子结点的指针和指向兄弟结点的指针

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二叉树的相关概念

  1. 二叉树的定义

二叉树是由n（n≥0）个结点组成的有限集合、每个结点最多有两个子树的有序树。它或者是空集，或者是由一个根和称为左、右子树的两个不相交的二叉树组成

  1. 特点
  • 二叉树是有序树，即使只有一个子树，也必须区分左、右子树
  • 二叉树的每个结点的度不能大于2，只能取0、1、2三者之一
  • 二叉树中所有结点的形态有5种：空结点、无左右子树的结点、只有左子树的结点、只有右子树的结点和具有左右子树的结点
  1. 二叉树的性质

性质1：二叉树的第i层上最多有2i-1个结点（i≥1）

性质2：深度为k(k≥1)的二叉树上最少有k个结点，最多有2k-1个结点

性质3：对于任一棵非空二叉树，若其叶结点数为n0，度为2的非叶结点数为n2，则n0 = n2 ＋１

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1（[]表示向下取整）

性质5：如果将一棵有n个结点的完全二叉树自顶向下，同一层自左向右连续给结点编号１，２，３，...，ｎ，然后按此结点编号将树中各结点顺序的存放于一个一维数组，并简称编号为i的结点为结点i（ ｉ≥１ && ｉ≤ｎ）,则有以下关系：

  • 若 ｉ= 1，则结点i为根，无父结点；若 ｉ> 1，则结点 i 的父结点为结点[i/2]
  • 若 ２＊ｉ≤ ｎ，则结点 ｉ 的左子女为结点 ２＊ｉ；
  • 若２＊ｉ≤ｎ，则结点ｉ的右子女为结点２＊ｉ＋１；
  • 若结点编号ｉ为奇数，且ｉ！＝１，它处于右兄弟位置，则它的左兄弟为结点ｉ－１；
  • 若结点编号ｉ为偶数，且ｉ！＝ｎ，它处于左兄弟位置，则它的右兄弟为结点ｉ＋１；
  • 结点ｉ所在的层次为[log2i]＋１。（[]表示向下取整）
  1. 二叉树的存储结构

二叉树的存储结构有顺序存储结构、链式存储结构、仿真指针存储结构

  • 顺序存储结构

顺序存储结构采用一维数组存储的

  • 链式存储结构

链式存储结构采用链表存储二叉树中的数据元素，用链建立二叉树中结点之间的关系。二叉树最常用的链式存储结构是二叉链，每个结点包含三个域，分别是数据元素域data、左孩子链域lChild和右孩子链域rChild

  1. 二叉树的遍历
  • 前序遍历（DLR）
  1. 访问根节点
  2. 访问左子树
  3. 访问右子树
  • 中序遍历（LDR）
  1. 访问左子树
  2. 访问根节点
  3. 访问右子树
  • 后序遍历（LRD）
  1. 访问左子树
  2. 访问右子树
  3. 访问根节点

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二叉查找树

  1. 二叉查找树的定义

二叉查找树（又叫作二叉搜索树或二叉排序树）是一种数据结构，采用了图的树形结构。数据存储于二叉查找树的各个结点中。

  1. 二叉查找树的过程

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二叉查找树有两个性质。第一个是每个结点的值均大于其左子树上任意一个结点的值

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第二个是每个结点的值均小于其右子树上任意一个结点的值

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根据这两个性质可以得到以下结论。首先，二叉查找树的最小结点要从顶端开始，往其左下的末端寻找。此处最小值为3

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反过来，二叉查找树的最大结点要从顶端开始，往其右下的末端寻找。此处最大值为28

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试着往二叉查找树中添加数据。比如添加数字1

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首先，从二叉查找树的顶端结点开始寻找添加数字的位置。将想要添加的1与该结点中的值进行比较，小于它则往左移，大于它则往右移

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由于1＜9，所以将1往左移

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由于1＜3，所以继续将1往左移，但前面已经没有结点了，所以把1作为新结点添加到左下方

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这样，1的添加操作便完成了

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试试添加数字4

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和前面的步骤一样，首先从二叉查找树的顶端结点开始寻找添加数字的位置

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由于4＜9，所以将其往左移

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由于4＞3，所以将其往右移

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由于4＜8，所以需要将其往左移，但前面已经没有结点了，所以把4作为新结点添加到左下方

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于是4的添加操作也完成了

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试试删除结点28

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如果需要删除的结点没有子结点，直接删掉该结点即可

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再试试删除结点8

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如果需要删除的结点只有一个子结点，那么先删掉目标结点……

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然后把子结点移到被删除结点的位置上即可

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最后来试试删除结点9

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如果需要删除的结点有两个子结点，那么先删掉目标结点……

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然后在被删除结点的左子树中寻找最大结点……

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最后将最大结点移到被删除结点的位置上。这样一来，就能在满足二叉查找树性质的前提下删除结点了。如果需要移动的结点（此处为4）还有子结点，就递归执行前面的操作

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看看如何在二叉查找树中查找结点，来试试查找12

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从二叉查找树的顶端结点开始往下查找。和添加数据时一样，把12和结点中的值进行比较，小于该结点的值则往左移，大于则往右移

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由于12＞4，所以往右移

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找到结点12了

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  1. 二叉查找树解说

可以把二叉查找树当作是二分查找算法思想的树形结构体现。因为它具有前面提到的那两个性质，所以在查找数据或寻找适合添加数据的位置时，只要将其和现有的数据比较大小，就可以根据比较结果得知该往哪边移动了。

比较的次数取决于树的高度。所以如果结点数为n，而且树的形状又较为均衡的话，比较大小和移动的次数最多就是log2n。因此，时间复杂度为O（logn）。但是，如果树的形状朝单侧纵向延伸，树就会变得很高，此时时间复杂度也就变成了O（n）。

posted @ 2020-08-01 16:37  乌利乌利  阅读(57)  评论(0)    收藏  举报