P1028 [NOIP2001 普及组] 数的计算

[NOIP2001 普及组] 数的计算

题目描述

给出自然数 n，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数字 n 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个自然数，但是这个自然数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 a, b 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 i <= |a|，使得 a_i != b_i。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 n。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

6

提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

• 6
• 6, 1
• 6, 2
• 6, 3
• 6, 2, 1
• 6, 3, 1

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 1 <= n <= 10^3。

说明

本题数据来源是 NOIP 2001 普及组第一题，但是原题的题面描述和数据不符，故对题面进行了修改，使之符合数据。原题面如下，谨供参考：

我们要求找出具有下列性质数的个数（包含输入的正整数 n）。

先输入一个正整数 n（n <= 1000），然后对此正整数按照如下方法进行处理：

1. 不作任何处理；
2. 在它的左边拼接一个正整数，但该正整数不能超过原数，或者是上一个被拼接的数的一半；
3. 加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加正整数为止。

分析

我们以4为例子来进行说明

4后面可以跟上1,2组成14,24

14后面跟不了,24可以跟上1组成124

再加上4本身就可以得到4的种类

即 14,24,124,4

而我们只要算出1,2的种类就可以加起来得到4的种类

**因此，我们得到

f[1]=1
f[2]=2=f[1]+1
f[3]=2=f[1]+1
f[4]=4=f[1]+f[2]+1
f[5]=4=f[1]+f[2]+1

......** 以此类推，我们得到以下代码

提交答案

#include<bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
int n;
int f[1001];//存每一位数的种类
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){ //1-n的递推
        for(int j=1;j<=i/2;j++){
            f[i]+=f[j]; //每一位叠加，递推走起
        }
        f[i]++; //加上本身
    }
    cout<<f[n];//输出n的种类
    return 0;
}

总体来说，这道题是数学思想以及对递推的理解，自己推导一下还是做的出来。