AcWing：239. 奇偶游戏（前缀和 + 离散化 + 带权并查集 + 异或性质 or 扩展域并查集 + 离散化）
小A和小B在玩一个游戏。
首先，小A写了一个由0和1组成的序列S，长度为N。
然后，小B向小A提出了M个问题。
在每个问题中，小B指定两个数 l 和 r，小A回答 S[l~r] 中有奇数个1还是偶数个1。
机智的小B发现小A有可能在撒谎。
例如，小A曾经回答过 S[1~3] 中有奇数个1， S[4~6] 中有偶数个1，现在又回答 S[1~6] 中有偶数个1，显然这是自相矛盾的。
请你帮助小B检查这M个答案，并指出在至少多少个回答之后可以确定小A一定在撒谎。
即求出一个最小的k，使得01序列S满足第1~k个回答，但不满足第1~k+1个回答。
输入格式
第一行包含一个整数N，表示01序列长度。
第二行包含一个整数M，表示问题数量。
接下来M行，每行包含一组问答：两个整数l和r，以及回答“even”或“odd”，用以描述S[l~r] 中有奇数个1还是偶数个1。
输出格式
输出一个整数k，表示01序列满足第1~k个回答，但不满足第1~k+1个回答，如果01序列满足所有回答，则输出问题总数量。
数据范围
N≤109,M≤10000N≤109,M≤10000
输入样例：
10
5
1 2 even
3 4 odd
5 6 even
1 6 even
7 10 odd
输出样例：
3
带权并查集：
题解：如果我们用sum数组表示序列S的前缀和，那么在每个回答中：
1、S[l ~ r] 有偶数个1，等价于 sum[l - 1] 与 sum[r] 奇偶性相同。
2、S[l ~ r] 有奇数个1，等价于 sum[l - 1] 与 sum[r] 奇偶性不同。
注意，我们在本题中不需要求sum数组，只要把它看成一个变量。
1、x1 与 x2 的奇偶性相同，x2 与 x3 的奇偶性也相同，那么 x1 与 x3 的奇偶性相同。
2、x1 与 x2 的奇偶性相同，x2 与 x3 的奇偶性不同，那么 x1 与 x3 的奇偶性不同。
3、x1 与 x2 的奇偶性不同，x2 与 x3 的奇偶性不同，那么 x1 与 x3 的奇偶性相同。
假设 d[x] 是 x ~ p 的奇偶性， d[y] 是 y ~ q 的奇偶性， d[p] 是 p ~ q 是奇偶性（其中x ~ p 和 y ~ q是两个不同的集合，p ~ q是两个集合的路径）。那么，ans = d[x] ^ d[y] ^ d[p]，可以推出d[p] = d[x] ^ d[y] ^ ans（读者可以自己证明）。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <vector> using namespace std; const int maxn = 1e4+7; struct node { int l, r, ans; }arr[maxn]; vector<int> v; int f[maxn]; int d[maxn]; int n, m; int find(int x) { return lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin() + 1; } void init() { v.clear(); for(int i = 1; i <= m; i++) { char str[5]; scanf("%d %d %s", &arr[i].l, &arr[i].r, str); arr[i].ans = (str[0] == 'o') ? 1 : 0; //奇数为1，偶数为0 v.push_back(arr[i].l - 1); v.push_back(arr[i].r); } sort(v.begin(), v.end()); v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end()); //离散化 n = v.size(); for(int i = 0; i <= n; i++) { f[i] = i; d[i] = 0; } } int get(int x) { if(x == f[x]) { return f[x]; } int root = get(f[x]); d[x] ^= d[f[x]]; return f[x] = root; } int main() { scanf("%d %d", &n, &m); init(); for(int i = 1; i <= m; i++) { int x = find(arr[i].l - 1); int y = find(arr[i].r); int fx = get(x); int fy = get(y); if(fx == fy) { if((d[x] ^ d[y]) != arr[i].ans) { //与前面的回答相矛盾 printf("%d\n", i - 1); return 0; } } else { f[fx] = fy; d[fx] = d[x] ^ d[y] ^ arr[i].ans; } } printf("%d\n", m); return 0; }
扩展域并查集：
题解：同上，如果我们用sum数组表示序列S的前缀和，那么在每个回答中：
1、S[l ~ r] 有偶数个1，等价于 sum[l - 1] 与 sum[r] 奇偶性相同。
2、S[l ~ r] 有奇数个1，等价于 sum[l - 1] 与 sum[r] 奇偶性不同。
注意，我们在本题中不需要求sum数组，只要把它看成一个变量。
我们可以把变量x拆成两个节点xodd和xeven，其中xodd表示sum[x]是奇数，xeven表示sum[x]是偶数。我们那也可以把这两个节点称为x的“奇数域”和“偶数域”。
对于每个问题，设在离散化后l - 1和r的值分别是x和y，设ans表示该问题回答（0表示偶数个1，1表示奇数个1）
1、若ans = 0是，则合并xodd与yodd，xeven和yeven。这表示“x为奇数”和“y为奇数”可以互相推出，“x位偶数”和“y位偶数”可以互相推出。
2、若ans = 0是，则合并xodd与yeven，xeven和yodd。这表示“x为奇数”和“y为偶数”可以互相推出，“x位偶数”和“y位奇数”可以互相推出。
上述合并还维护了关系的传递性。若xodd和yodd在同一集合内，则两者的奇偶性相同。若xodd和yeven在同一集合内，则两者的奇偶性不同。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 1e4+7; struct node { int l, r, ans; }arr[maxn]; vector<int> v; int f[maxn]; int n, m; void init() { for(int i = 1; i <= m; i++) { char str[5]; scanf("%d %d %s", &arr[i].l, &arr[i].r, str); arr[i].ans = (str[0] == 'o') ? 1 : 0; //奇数为1，偶数为0 v.push_back(arr[i].l - 1); v.push_back(arr[i].r); } sort(v.begin(), v.end()); v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end()); n = v.size(); for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) { f[i] = i; } } int find(int x) { return lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin() + 1; } int get(int x) { if(x == f[x]) { return f[x]; } int root = get(f[x]); return f[x] = root; } int main() { scanf("%d %d", &n, &m); init(); for(int i = 1; i <= m; i++) { int x = find(arr[i].l - 1); int y = find(arr[i].r); int x_odd = x, x_even = x + n; int y_odd = y, y_even = y + n; if(arr[i].ans == 0) { //回答奇偶性相同 if(get(x_odd) == get(y_even)) { //与已知情况矛盾 printf("%d\n", i - 1); return 0; } f[get(x_odd)] = get(y_odd); f[get(x_even)] = get(y_even); } else { //回答奇偶性不同 if(get(x_odd) == get(y_odd)) { //与已知情况矛盾 printf("%d\n", i - 1); return 0; } f[get(x_odd)] = get(y_even); f[get(x_even)] = get(y_odd); } } printf("%d\n", m); //没有说谎 return 0; }
