抽象代数学习笔记（6）群

前面的几篇文章介绍了抽象代数的基础，现在可以接触一种基本的代数结构---群。之前说过，代数结构就是在一个集合上定义一个运算。群也是如此，只是，群需要满足一些要求。

一个集合\(G\)以及定义在这个集合上的运算*满足下列条件：

• 运算*满足结合律；
• 运算*有一个单位元\(e\)；
• 集合\(G\) 中的每一个元素在运算* 有逆元，即\(G\)中任意元素\(g\),有\(g^-1\)使得
  \(g*g^-1=g^-1*g=e\)
  

这样，元素G和定义在G上的运算* 构成了一个群，记作 \((G,* )\) ，有时简称\(G\)是一个群。

我们接触到的群的例子其实有很多，例如整数在代数加法下构成群，实数在代数乘法上构成群，等等。

群有一些性质，需要注意：

• 群中的单位元是唯一的
• 群上的运算满足左右消去律
• 群上的运算不需要满足交换律，若满足交换律，则这个群是一个交换群。为纪念天才数学家阿贝尔对群论做出的杰出贡献，常称交换群为阿贝尔群。
  

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研究代数系统经常要研究它的子代数系统，群也是这样，这就有了子群的概念。

\((G,* )\) 是个群，如果\(G\)的子集\(H\)对于*也构成群,那么称 \((H,* )\) 是 \((G,* )\) 的子群。或者，简单地说，\(H\)是\(G\)的子群。

前面说到整数在代数加法下构成群，而偶数在代数加法下也构成群，那么，偶数加法群是整数加法群的一个子群。

子群也有一些性质，下面列一下：

• 子群的单位元等于群的单位元
• \(G\) 是一个群，\(G\)的任意一个子群族的交集仍然是\(G\)的子群
• \(H,K\)是\(G\)的子群，如果\(H,K\)的并集也是\(G\)的子群，那么\(H \subseteq K\)或者\(K \subseteq H\)。

这些性质的证明很简单，有兴趣的可以试一下。

这里提一个比较重要的概念，生成子群：

设\(G\)是个群，\(S\)为其一非空子集合,\(J\)为\(G\)的所有包含\(S\)的子群的族，则称子群

\[\bigcap\limits_{H\in J} H \]

为\(S\)在\(G\)中的生成子群。记作<\(S\)>

之所以说生成子群重要，主要是因为生成子群的诸多应用，先记住上述概念，以后会在其他的例子中引用。

我在介绍关系的文章中说到过商代数系统，群作为一个代数系统自然是有商代数系统的---商群。但是现在讲商群的概念为时过早，要说明一下，商群是一个很难理解的概念，需要了解更多群的实例，才能对商群有个清晰的认识，因此，商群会在以后的文章中具体论述。