位置化数字系统

位置化数字系统，符号S占据的位置决定了数字表示的值。

数字表示为：$\pm(S_{k-1}...S_2S_1S_0.S_{-1}S_{-2}...S_{-l})_b$

数字的值为：$\pm$ $S_{k-1} \times b^{k-1} +...+ S_1 \times b^1 +S_0 \times b^0$ + $S_{-1} \times b^{-1} +S_{-2} \times b^{-2} +...+S_{-l} \times b^{-l}$，b是底。

一、常用进制

十进制： 以10为底（基数），即b=10；且用十个符号表示一个数，符号集为S{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

二进制： 以2为底（基数），即b=2；且用两个符号表示一个数，符号集为S{0, 1}。

八进制： 以8为底（基数），即b=8；且用八个字符表示一个数，符号集为S{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。

十六进制： 以16为底（基数），即b=16；且用十六个字符表示一个数，符号集为S{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}。英文字母A、B、C、D、E、F分别代表10、11、12、13、14、15。

二、进制转换

不常用八进制和十六进制表示实数。

1. R进制转十进制

十进制转十进制：

eg：$(24.13)_{10}$ = $ 2\times10^{1} + 4\times10^{0} $ + $1\times10^{-1} +3\times10^{-2}$ = $(24.13)_{10}$

二进制转十进制：

eg：$(101.11)_2$ = $ 1\times2^2 + 0\times2^1 + 1 \times2^0$ + $1\times2^{-1} + 1\times2^{-2}$ = $(5.751)_{10}$

八进制转十进制：

eg：$(1256)_8$ = $ 1\times8^3 + 2\times8^2 + 5\times8^2 + 6 \times 8^0 $ = $(686)_{10}$

十六进制转十进制：

eg：$(2AE)_{16}$ = $ 2\times16^2 + 10\times16^1 + 14\times16^0 $ = $(686)_{10}$

2. 十进制转R进制

整数部分： 除底取余，逆序排列。

eg：将十进制的35转换成二进制数。

$35=(100011)_2$

十进制数除以底，得到的商继续除底，直至商为0，然后反向取余数。直至商为0，然后反向取余数。
实数部分： 乘底取整，顺序排列。

eg：将十进制的85转化成八进制数。（精确小数点后4位）

$0.634=(0.5044)_8$

小数乘底，取整数，再将小数乘底，取整数，直至小数为零或目标位数足够。
十进制转二进制的变通方法

$2^7 \quad 2^6 \quad 2^5 \quad 2^4 \quad 2^3 \quad 2^2 \quad 2^1 \quad 2^0 = 128 \quad 64 \quad 32 \quad 16 \quad 8 \quad 4 \quad 2 \quad 1$

$2^{-1} \quad 2^{-2} \quad 2^{-3} \quad 2^{-4} \quad 2^{-5} \quad 2^{-6} \quad 2^{-7} = \frac{1}{2} \quad \frac{1}{4} \quad \frac{1}{16} \quad \frac{1}{32} \quad \frac{1}{64} \quad \frac{1}{128}$