【原创】 普通型母函数初级教程

普通型母函数初级教程

                                                                               --by 式泠（Bstring）

这几天一直在做这一类的题目。看的教程主要是业余ACmer大神TankyWoo的个人博客以及一些母函数课件（稍后发上）。

（ACMer新手请先打开传送门http://www.matrix67.com/blog/archives/120，仔细研读一下Matrix67的大作先，要理解如何生成一个普通型生成函数）

再进Tanky Woo 的传送门（http://www.wutianqi.com/?p=596）

同时开着这三个网页标签。。。往下看。。。。

核心的一句话就是“ 把 离 散 数 列 和 幂 级 数  一 一 对 应 起 来 ”（好好理解！）

（PS：这里的幂级数不考虑收敛，故作 形式幂级数 ）

 

接下来读懂模板中的数组c1 和c2 以及 i,  j,  k, 这三个变量的含义。

请先暂时不管后面的细节，可以这样看c1和c2的关系：

c1是个桶，c2是个瓢，c2舀水倒进c1，不断的倒，直到c1满了。

所以我才说c1应改为 answer，而c2 应该为 current answer 或 temp。

 

再在细节上理解c1和c2和 i， j， k

先在纸上把依照题意抽象出的生成函数的多项式写出，

比如

这么一个多项式。。。。

 

其实这个模板就是模拟这个多项式的相乘过程，其实这里的 x 是浮云，所以我提议直接写成这样

                                                   （0,1,2,3...) (0,2,4,6...) (0,3,6,9...)

把指数这个 衣服 从 x 这个 晾衣架 下拿下来了

多项式的相乘 对于指数来说就是相加。

c1 数组在进入 i,j,k 的这个三重循环之前，有一个很重要的初始化，c1的部分元素被刷成了1，

这些1代表了第一个括号里的（0,1,2,3...）这些 衣服 原来所挂衣架 x 的系数。

 

下面进入很难理解的 i,  j,  k 三重循环。。。（洗把脸让脑袋清醒一下再看吧，孩纸们）

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用初中生的方法在纸上算一算（把省略号后面的数忽略吧）

你可能会这样做：先乘前两个括号(木有数学公式插件，将就着看吧，主要得自己在纸上写)：

         1     *   1         +    1    * (x^2)    +    1     *(x^4)

+     x     *   1         +     x    *(x^2)    +     x    * (x^4)

+ (x^2) *   1        +(x^2)*(x^2)     +(x^2)*(x^4)

 

=（1+ x +2 (x^2) + x^3 + 2(x^4) + x^5  + x^6）

然后再拿这个括号的每一项去乘上原式中的第三个括号……

（这里我就不再写了，累死，不过你要理解的话还真得在纸上写完去！）

没错，边写边对照这个for循环。。。（聪明的孩纸应该已经看懂了）

 

下面为了负责还是要面向一下普通大众（没看懂就继续往下看吧，这里木有人会笑你的）

 

这里的变量 i 一般情况下 i 与乘式的状态有关，比如模板中的 i 从2开始，就是说先拿前两项相乘

，还有重要的一点是 可以利用 i 控制乘式中指数的增量，这道题的增量控制太简单了，其他题目

中的增量控制可能就要有些变化了。i 的最大值是整个多项式全部展开之后得到的最大指数，这个值一般

可以通过题意得到或估算得到一个稍大的值。

 

变量 j 是非常费解的，真正理解可能要掌握 DP（动态规划）。。。按照TankyWoo的和Seagg的讨论

结果， j 应该指示的是前i个括号乘起来之后的第j个变量。

注意 j 的 控制条件 是 整个多项式展开之后的 最小指数 到 最大指数 的范围，增量是 j++，不管题目

怎么变，这个增量是不会变的。

 

变量 k 比较好理解了，就是第 i 个括号里的每一项的指数了，

控制条件一般有两个（这个模板只有一个）

一个是 k的上限控制， 不可超过第i个括号里的最大指数；

一个是 j+k的上限控制，不可超过 整个多项式全部展开之后得到的最大指数。

核心的式子出现了 !                c2 [j+k] += c1[j];

好了，现在该看你的草稿纸上的算式了，这个式子反映的就是你的乘式中指数相加的步骤。

T H I N KKKKKKKKKKING               NOOOOOOOOOOOOOW   !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

接下来一直累加 c2，这个j的for循环终了之后， 进入到同层次的第二个 j 的for循环，

到这一步，程序已经帮你算完了前两个式子的相乘过程， c2 这个瓢的水已经装满了，倒进c1这个桶。

 

程序又跳转到了下一个  i 的for循环了（其实你可以通过单步调试慢慢查看每一个变量的动态，

个人认为这是理解循环代码的最佳途径。）如此反复，终于把这个多项式完全展开了，

得到了每一个拥有不同指数的晾衣架x的系数。。。这个系数自然就是组合的方案数。

套在乘法的马甲里，代表元素的指数做着加法运算，这就是组合计数的加法原理啊！

 

 

（PS：第一次写教程，若有疏漏， 还望各位大牛指正， 新手也应该靠自己领悟为主，不要太依赖网

上流传的各种教程。别老以为自己笨搞不了算法，那样的借口是在用你的惰性吞噬着你的智商！）