莫比乌斯反演与数论函数

前情提要：数论学习笔记

1.狄利克雷卷积与数论函数

狄利克雷卷积

\(\textcolor{blue}{\Large 定义：}\)\((f∗g)(n)= \sum\limits_{d|n} f(d)g(n/d)\)
所以 \((f*g)(10) = f(1)g(10) + f(2)g(5) + f(5)g(2) + f(10)g(1)\)。

狄利克雷卷积满足以下运算律：
交换律：\(f * g = g * f\)；
结合律：\((f * g) * h = f * (g * h)\)；

数论函数

\(I(n)\) 无论 \(n\) 是啥，它永远等于 \(1\)，所以叫做恒等函数。
\(ϵ(n)/e(n)\) 当 \(n=1\) 时,函数值为 \(1\)，否则为 \(0\)。被称作元函数因为它是卷积的单位元\((ϵ∗f=f)\)。(Important)
\(id(n) = n\) 被称作单位函数。
附：\(id^x(n) = n^x\) 被称作幂函数 (\(id(n)\) 是 \(id^x(n)\) 的特殊情况)。
\(e(n)\)，\(I(n)\)，\(id(n)\) 是完全积性函数。
\(\textcolor{blue}{\Large 定义：}\) 完全积性函数：对于一个函数 \(I\) 对于任意的整数 \(a\) 和 \(b\) 有 \(I(ab)=I(a)I(b)\)。

所以，完全积性函数 \(∈\) 积性函数。
积性函数的性质：

• 对于一个积性函数 \(F\)，有 \(F(1)=1\)。
  \(\textcolor{blue}{\Large 证明：}\) 根据 \(F(1) = F(1)F(1) (\gcd(1, 1) = 1)\) 可得 \(F(1) = 1\)。
• 对于积性函数 \(F\)，\(F(x) = F(p_1^{k_1})F(p_2^{k_2})\dots F(p_n^{k_n})\)。

\(p_1\dots p_n\) 是 \(x\) 的 \(n\) 个质因子，\(k_1\dots k_n\) 是每个质因子的数量。

\(\textcolor{blue}{\Large 定义：}\) 积性函数：对于一个函数 \(F\)，如果 \((a,b)=1\) 时有 \(F(ab)=F(a)F(b)\)，则该函数是积性函数。