LCA_倍增法

LCA_倍增法
说起LCA，大家一定不会陌生，最近公共父祖先。

那么求解这种问题，我熟悉的算法有两种：tarjan+并查集离线算法 / 倍增法

今天主要分享一下倍增法，效率是比前一种方法高的。

主要思想：
从深度较深的节点向上移动，直到和另外一个节点处于同一深度。
然后两个节点一起向上移动，直到各自的节点第一次相同时，终止，这个相同的节点就是最近公共父祖先。
那么在倍增法中，是采用跳跃式的，并且跳跃的步数是从大到小，所以如果保证能找到LCA呢。
下面我们通过代码进行详细解释。

所谓倍增，顾名思义成倍增加，那么按多少倍呢？ 我们使用2的n 次方倍来操作

首先定义int maxExp = 0,pow = 1;

while(pow<N){

　　maxExp +=1;

　　pow *= 2;

}

据次求出树最大能跳2的多少倍（maxExp）;

我们定义一个二位数组parents[N][maxExp];用来存储N点的maxExp节点的值；

含义： parents[N][0] 表示N的父节点（2的0次方 =1，N的上一个节点，即父节点），

　　　parents[N][1]表示N的爷爷节点（2的1次方=2，N的上面第二个节点，即爷爷节点），

parents[N][2]表示N的爷爷的爷爷节点（2的2次方=4，N的上面第4个节点，即爷爷的爷爷节点）

以此类推。。。。。

不难看出 parents[N][2] = 爷爷的爷爷节点 = parents[parents[N][1]][1],（红色表示N的爷爷）

由此可推出parents[N][i] = parents[parents[N][i-1]][i-1];

有了这个公式，通过parents数组我们就可以进行倍增存值。不需要存储每个点的每一层，只需要存储倍增节点，我们就能得到所有节点的所有祖先。是不是很神奇？！

这个公式也是倍增法的精髓所在。

好了，进入正文：

通过bfs求出树的每个节点的深度。
伪代码：
depth[N+1];
depth[root] = 1;
bfs(int root,int pre)//根节点和父节点，初始为1，0
{
pq.add([root,pre]);
while(!pq.isEmpty()){
int poll[] = pq.poll;
int u = poll[0];
int fa = poll[1];
//循环为u点赋值，写在这里的原因是从数的根节点，按层级赋值，保证了在为某个节点赋值时，它的祖先节点一定已经赋过值了。
for up->1 to maxExp
{
parents[u][up] = parents[parents[u][up-1]][up-1];
}
//循环u链接的节点
for(arr[u] i->1 to n){
int v = arr[u].get[i];
v==fa : continue;//如果是父节点，跳过
depth[v] = depth[u]+1;//子节点深度为父节点深度+1；
parents[v][0] = u;子节点v的父节点为u
pq.add([v,u]),将新的节点加入队列
}
}
}
当然这里也可以用dfs来实现，原理是一样的。
经过一番操作，我们得到了每个节点的深度，和parents数据的初始化值
那么如何求LCA呢，且看下面分析：
LCA(int a,int b)//求a点和b点的LCA
{
//我们假设a点为深度更深的点，即一会先让a向上跳跃，直到和b在同一层
if(depth[a]<depth[b]){
a = a^b;
b = a^b;
a = a^b;
//将a，b交换位置，保证a点为深度更深的点
}

//让a点先向上跳
for up from maxExp to 0{
//如果a点的祖先节点深度<=b点的深度，那么将a的该祖先节点，赋给a，即a跳到了和b同一层
if(depth[parents[a][up]]<=depth[b]){
a = parents[a][up]
}
}

if a == b return a; 如果此时a=b,说明b是a的LCA；
//否则，a和b同时跳。很多人会问，a，b是从大往小跳，那么如何保证a，b跳到的是最近的公共祖先呢。这里我们使用一个技巧。
我们让a，b同时跳，不去找祖先相同的点，这样我们无法判断是不是最近的。我们可以找第一次不相同的点。因为从上到下，第一次不相同时的点，该点的父节点就是LCA。
这样就比较容易实现了
for up from maxExp to 0{
//该判断表示，找到相等前的那一次不相同。
if(parents[a][up]!=parents[b][up]){
a = parents[a][up];
b = parents[b][up];
}
}
此时LCA为a或b的父节点
return parents[a][0]或者parents[b][0]
}

相信通过代码和解释，大家应该能理解个七七八八吧。要想深入理解，需要做做题，自己写一些，练一练。
我觉得代码都是在使用中逐渐理解透彻的。

bye~