代数式中的恒等变形

本文介绍代数式恒等变形中的方法与技巧。

整式除法

类似于数与数的相除，整式也可以做除法。

首先先对两个整式进行补位，再根据当前最高位的系数相除。

例题

求：\(9x^2+3\) 除以 \(x-1\) 的商与余数。

解：先对 \(9x^2+3\) 进行补位，变成 \(9x^2+0x+3\)，再进行整式除法。

如图所示，我们进行整式除法：

得到商为 \(9x+9\)，余数为 \(12\)。

赋值法

赋值法可以解决二项式中的一些问题。

对于一个含变量二项式，求展开项系数的关系，可以对变量进行赋值（在初中阶段一般来说是 \(0,\pm1\)）进行求解。

例题

已知 \((2x+1)^5=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5\)，求如下问题：

1. 求 \(a_0\) 与 \(a_5\)；
2. 求 \(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\) 的值；
3. 求 \(a_1+a_3+a_5\) 的值。

分析：

第 1 问中，最低次项系数为所有常数 \(1\) 的乘积，最高次项系数为所有 \(2x\) 的乘积；

第 2 问中，把 \(x\) 赋值为 \(1\)，使得此时的 \((2x+1)^5=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\)；

第 3 问中，把 \(x\) 赋值为 \(-1\)，使得此时的 \((2x+1)^5=a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5\)，再进行消元。

解：

1. \(a_0=1\)，\(a_5=32\)。
2. 当 \(x=1\) 时，\((2x+1)^5=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=3^5=243\)。
3. 当 \(x=-1\) 时，\((2x+1)^5=a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=(-1)^5=-5\)。
   两式相加，得\((a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)-(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5)=2(a_1+a_3+a_5)=248\)，得 \(a_1+a_3+a_5=124\)。

代数变形中的基本公式

1. 完全平方公式：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
   变形式：\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
2. 平方差公式：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
3. 立方和公式：\(a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)\)
4. 立方差公式：\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+b^2+ab)\)
5. 完全立方公式：\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
   变形式：\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
6. 大火车公式：\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)\)
7. 欧拉公式：\(a^3+b^3+c^3-3ab=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
8. 海伦公式：\((a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)\)

多元平方公式

铺垫：\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2\)。

由此引发：通过平方项和交叉项，可以判断该式由哪一个式子平方而来。

例题

若 \(a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca=A^2\)，求代数式 \(A\)。

分析：可以判断，在 \(A\) 中，\(a\) 和 \(b\) 异号，\(a\) 和 \(c\) 异号，\(b\) 和 \(c\) 同号，可以推断出 \(a,b,c\) 符号分别为 \(-,+,+\) 或 \(+,-,-\)。

解：

\(A=(a-b-c)^2\) 或 \((-a+b+c)^2\)。

配方

配方是将一个代数式中将变量的二次项和一次项配成平方项，从而判断最值。

例题

求：\(2x^2+y^2-4x-6y+20\) 的最小值。

分析：对 \(x,y\) 进行配方即可。

解：

原式 \(=2(x-1)^2+(y-3)^2+9\)，由此得最小值为 \(9\)。

对称式

对称多项式是指任意交换两个变元后保持不变的多元多项式。

二元基本对称式：\(a+b\) 和 \(ab\)。

三元基本对称式：\(a+b+c\)，\(ab+bc+ca\) 和 \(abc\)。

根据大学定理，如果知道所有三元基本对称式，其余所有三元对称式均可被算出。

例题

已知 \(a+b+c=3\)，\(ab+bc+ca=4\)，\(a^3+b^3+c^3=2\)，求：\(a^3+b^3+c^3\) 的值。

解：

\[(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \]

\[9=a^2+b^2+c^2+8 \]

\[a^2+b^2+c^2=1 \]

由欧拉公式可得：

\[\begin{aligned} 原式 &= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\ &= 3(1-4) \\ &= -9 \\ \end{aligned} \]

基本技巧

1. 消元：尽可能将变量消去，减少该代数式中的变量个数，使得代数式更接近一个值。

2. 降次：尽可能将变量次数减小，使得代数式更接近一个零次代数式。

3. 换元：将一些重复的、毫无必要的部分换成字母，尽可能抵消后再运算。

例题

1.已知 \((2025-a)(2026-a)=2027\)，求：\((2025-a)^2+(2026-a)^2\) 的值。

分析：\(2025,2026\) 这两个数字相近且繁琐，考虑换元并降次。

解：

换：\(A=2025-a\)。

由 \(A(A+1)=2027\)，得 \(A^2=2027-A\)。

所以：

\[\begin{aligned} 原式 &= A^2+(A+1)^2 \\ &= 2027-A+A^2+1+2A \\ &= 2027-A+2027-A+1+2A \\ &= 4055 \end{aligned} \]

2.已知 \((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=(x+y-2z)^2+(y+z-2x)^2+(z+x-2y)^2\)，求证：\(x=y=z\)。

分析：由已知条件消元即可。

解：

\[2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=6(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \]

\[x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0 \]

由大火车公式，得：

\[\frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)=0 \]

由绝对值非负性，得：

\[x=y=z \]

3.已知 \(a+b=c+d\) 且 \(a^2+b^2=c^2+d^2\)，求证：当 \(n\) 为正整数时，有 \(a^n+b^n=c^n+d^n\)。

分析：\(a^n+b^n=c^n+d^n\) 必然不是随便成立，联系条件不难发现，其中一定有相等。

解：

\[(a+b)^2-a^2-b^2=(c+d)^2-c^2-d^2 \]

\[ab=cd \]

\[a^2+b^2-2ab=c^2+d^2-2cd \]

\[(a-b)^2=(c-d)^2 \]

此时有两种情况：

1. \(a=c\) 且 \(b=d\)；
2. \(a=d\) 且 \(b=c\)。

上述两种情况都成立，得证。