KMP 算法

算法介绍

本题解介绍 KMP 算法。

该算法求解一个字符串在另一个字符串中出现的位置。

引入

先介绍朴素的暴力做法。

暴力做法就是枚举每一个起点，依次进行配对并记录。

设字符串为 \(s1,s2\)，其长度分别为 \(n,m\)。总时间复杂度是 \(O(nm)\) 的。

显然这个时间复杂度不能接受，考虑优化。

KMP 算法

先思考时间复杂度高在哪里了。仔细思考可以发现如下一种情况：

\(s1\)：aaaaabaaaaab
\(s2\)：aaaaaa

可以发现反复比较了，且进行的是没有意义的比较。

所以抓住 \(s2\) 的性质，才是优化的关键。

由上述例子不难发现，\(s2\) 中隐含了大量信息。如果有重复比较的部分，我们是不希望进行的。

首先有一个定义：定义 \(next\) 数组。设字符串 \(s2\) 前 \(i\) 个字符组成的前缀 \(s'\)。则 \(next_i\) 为 \(s'\) 的一个非 \(s'\) 本身的子串 \(t\)，满足 \(t\) 既是 \(s'\) 的前缀，又是 \(s'\) 的后缀，这样的字符串 \(t\) 的最大长度。

接下来考虑如何维护，如图所示，橙色代表 \(s2\)，蓝色和绿色代表当前位置。

如果开头有一个红色字符串加蓝色字符，当前位置前有红色字符串（如图），则 \(next_i\) 为红色串的长度加一。

否则，如图所示，寻找更小的串，看看是否能转移，以此类推。

接下来就可以用用双指针求解了。令 \(i\) 为 \(s_1\) 中的指针，\(j\) 表示匹配到了哪里。

根上述过程类似，若不匹配，\(j=next_j\)，寻找最大能匹配的串。注意匹配成功也要使 \(j=next_j\)。

代码实现

求解 \(next\) 数组：

for (int i = 2, j = 0; i <= m; i++) {
      while (j > 0 && s2[i] != s2[j + 1])
          j = nxt[j];//缩小字符串，看看是否匹配
      if (s2[j + 1] == s2[i]) j++;
      nxt[i] = j;
  }

求出现的位置：

for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) {
    while (j > 0 && s1[i] != s2[j + 1])
        j = nxt[j];
    if (s2[j + 1] == s1[i]) j++;
    if (j == m) {
        cout << i - m + 1 << "\n";
        j = nxt[j];//注意，要重新从 next[j] 开始匹配
    }
}

完整代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
char s1[N], s2[N];
int nxt[N], n, m;
int main () {
    ios :: sync_with_stdio (0);
    cin.tie (0), cout.tie (0);
    cin >> (s1 + 1) >> (s2 + 1);
    n = strlen (s1 + 1);
    m = strlen (s2 + 1);
    for (int i = 2, j = 0; i <= m; i++) {
        while (j > 0 && s2[i] != s2[j + 1])
            j = nxt[j];
        if (s2[j + 1] == s2[i]) j++;
        nxt[i] = j;
    }// 求 next 数组
    for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) {
        while (j > 0 && s1[i] != s2[j + 1])
            j = nxt[j];
        if (s2[j + 1] == s1[i]) j++;
        if (j == m) {
            cout << i - m + 1 << "\n";
            j = nxt[j];
        }
    }// 匹配字符串
//  for (int i = 1; i <= m; i++)
//      cout << nxt[i] << " ";
// 输出 next 数组，可省略
    return 0;
}

算法证明

过程证明

由于 \(next\) 数组具有传递性，所以过程是对的。

这个传递性其实是一个相对模糊的概念，所以读者需要自行体会。

时间复杂度

每一次 \(j = next_j\)，都一定会使 \(j\) 减小。而 \(j\) 的上限为 \(m\)，所以 while 循环总次数为 \(m\) 次。时间复杂度为 \(O(n+m)\)。