绝对值

本文介绍绝对值的性质，经典方法与例题。

绝对值的性质

四则运算

对于实数 \(a\) 和 \(b\) 有：

\[|a+b|\le|a|+|b| \]

\[|a-b|\le|a|+|b| \]

以及：

\[|ab|=|a|\times|b| \]

非负性

由于绝对值的非负性，可以用来传递不等关系并求变量的值。

例题

\(|a+2|+|b-2|=0\)，求 \(a,b\) 的值。

分析：\(|a+2|\ge0,|b-2|\ge0\)，但 \(|a+2|+|b-2|=0\)，说明 \((a+2)=0,(b-2)=0\)。

绝对值的化简

若题目给定了数值的范围，那么这个代数式就是可以化简的。

例题

若 \(0<x<10\)，求 \(||x-15|+20|+|x-9|\) 的值。

分析：题目中已有数值的范围，直接求出代数式的值即可。

解：

\[\begin{aligned} 原式 &= |(15-x)+20|+(x-9) \\ &= |35-x|+x-9 \\ &= 35-x+x-9 \\ &= 26 \end{aligned} \]

零点分段法

零点分段法，就是指对于代数式的每一个绝对值代数式，找到绝对值的临界点，对代数式的值进行分类。

由于绝对值只有跨过临界点才存在正负差异，所以确定临界点，就能将所有绝对值代数式的取值情况进行确定。

例题

1.化简：\(|x-1|+|x-3|+|x+2|\)。

分析：由于没有取值范围，进行零点分段，找到所有情况即可。

解：

易得零点为 \(-2,1,3\)。表示如图所示：

当 \(x \le -2\) 时，原式 \(=1-x+3-x-2-x=2-3x\)；

当 \(-2<x<1\) 时，原式 \(=1-x+3-x+2+x=6-x\)；

当 \(1 \le x<3\) 时，原式 \(=x-1+3-x+2+x=4+x\)；

当 \(3 \le x\) 时，原式 \(=x-1+x-3+2+x=3x-2\)。

2.化简 \(||x-1|-3|+|x-4|\)

分析：同样使用零点分段法。

解：

当 \(x-1>0\) 时，\(|x-1|=x-1\)；

当 \(x-1<0\) 时，\(|x-1|=1-x\)；

易得零点为 \(-2,1,4\)。表示如图所示：

当 \(x \le -2\) 时，原式 \(=|1-x-3|+4-x=-2-x+4-x=2-2x\)；

当 \(-2<x<1\) 时，原式 \(=|1-x-3|+4-x=x+2+4-x=6\)；

当 \(1 \le x<4\) 时，原式 \(=|x-1-3|+4-x=8-2x\)；

当 \(4 \le x\) 时，原式 \(=|x-1-3|+x-4=2x-8\)。

数形结合

数形结合，一般用于求绝对值的最值问题。

对于代数式 \(|x-a|\)，表示点 \(x\) 到点 \(a\) 的几何距离。

例如：\(|x-93|\) 表示 \(x\) 到 \(93\) 的距离。

此时就可以讨论最值了。

例题

1.求 \(|x-1|+|x-2|+\dots+|x-5|\) 的最小值。

分析：用数形结合做更快捷、直观。

解：

如图所示：

为了使 \(x\) 到 \(1\) 和 \(5\) 的距离最小，应选择区间 \([1,5]\) 间的点；

为了使 \(x\) 到 \(2\) 和 \(4\) 的距离最小，应选择区间 \([2,4]\) 间的点；

为了使 \(x\) 到 \(3\) 的距离最小，应选择 \(x=3\)。

最小值为 \(6\)。

2.求 \(|x-1|+2|x-2|+3|x-3|\) 的最小值。

分析：可以看做在 \(2\) 处有两个点，\(3\) 处有三个点。

解：

类似第 1 题的思想，此时应取区间 \([2,3]\) 的点。

最小值为 \(4\)。

3.求 \(|x-1|+|2x-1|+|3x-1|\) 的最小值。

分析：为了化为数形结合的问题求解，把代数式变形为 \(|x-1|+2|x-\frac{1}{2}|+3|x-\frac{1}{3}|\)。

解：

原式 \(=|x-1|+2|x-\frac{1}{2}|+3|x-\frac{1}{3}|\)。

类似第 2 题的思想，此时应取区间 \([\frac{1}{3},\frac{1}{2}]\) 的点。

最小值为 \(1\)。
4.求 \(|x-1|-|x-4|\) 的最大值

分析：画图分析距离。

解：

当 \(x \ge 4\) 时，原式取得最大值。

最大值为 \(3\)。

5.若 \(a_1,a_2,\dots,a_5\) 为 \(1\) 至 \(5\) 的一个排列，求 \(|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_4|+|a_4-a_5|+|a_5-a_1|\) 的最小值和最大值。

分析：

先考虑最小值，随便对 \(a_1,a_2,\dots,a_5\) 取值，再由画图可知，是 \(a_1\) 走一圈再回来的总长。设：\(a_i=1,a_j=5\)，则必需从 \(a_i\) 跑到 \(a_j\)，再从 \(a_j\) 跑到 \(a_i\)。从 \(a_i\) 跑到 \(a_j\) 的路程至少为 \(5\)，同理可得，从 \(a_j\) 跑到 \(a_i\) 的路程至少为 \(5\)。因此答案为 \(10\)。

再考虑最大值，这时很难用几何方法进行判断，所以换用代数方法进行计算。

难么原式就会变成五个数减去另外五个数。此时构造就很容易了。为 \((5+5+4+4+3)-(3+2+2+1+1)\)。

解：

最小值为 \(10\)，最大值为 \(12\)。