闲话 2.4

似乎有高庙真正核心东西，不知道。

Wilf- Zeilberger 对

这是什么呢？就是说一个矩阵，如果横着求和是常数，那么相邻两行的和之差是 \(0\)。

相当于说：若 \(F,G\) 满足

\[G(n,k+1)-G(n,k)=F(n+1,k)-F(n,k)\\ \lim_{k\to \infty }G(n,k)=0 \]

那么就有

\[\sum_{k}F(n,k) \]

是常数。

而欲证明

\[\sum_k F(n,k)=F_n \]

方法是得到

\[\sum_k \frac{F(n,k)}{F_n}=\sum_k f(n,k)=1 \]

然后用 Gosper 算法（或者机械求和法什么的）求出 \(f\) 对应的 \(G\)，并得到 \(G\to 0\)。

小应用

其实比较疑惑的是为什么一开始我不对 F 应用 Gosper 呢，小编也不知道。

https://www.docin.com/p-2059379757.html 给了一个应用阿贝尔恒等式处理的题目。

\[\sum_k\binom nk^2 H_k=\binom{2n}n(2H_n-H_{2n}) \]

设左侧为 \(S(n)\)。对于不带 H 的项，可以计算

\[F(n,k)=\frac{\binom nk^2}{\binom{2n}n} \]

的 WZ 对是

\[G(n,k)=-\frac{\binom nkk^2(3n-2k+3)^2}{2\binom{2n}n(2n+1)(n-k+1)^2} \]

那么应用阿贝尔恒等式得到

\[S(n+1)-S(n)=-\sum_k\frac{G(n,k+1)}{k+1} \]

然后右边是一个超几何项，这个就机械求和法得到：

\(S(n+1)-S(n)=\frac{4n^2+5n+1}{(n+1)(2n+1)(2n+2)}\)

然后接下来裂项化简云云。

当然上面的过程是抄的。这个式子对于用笔计算有点超前了。

后记

做了一个梦，一个叫 cmk666 的人 AK 了 NOIWC，而一个叫 nch666 的人获得 230+ 分数。