普通莫队

【引入】

例题

题目大意：

给定一个长度为 \(n\) 的数组 \(arr\)，一共有 \(q\) 条查询，格式如下：
查询 \(l, r :\) 打印 \(arr[l...r]\) 范围上有几种不同的数字.

解析：

把每个区间看作一个窗口，对于每个区间，维护一个数组 \(cnt\)，以及一个变量 \(kind\)（数组内不同数字的个数），遍历到一个数字 \(i\) 那么cnt[i]++，当 cnt[i] = 1 时，kind++. 查询区间 \([l - 1, r]\) ，\([l + 1, r]\)，\([l, r + 1]\)，\([l, r - 1]\) 是非常方便的，只需要针对新加入或者新退出窗口的数对 \(cnt\) 数组进行维护，再根据它去更新 \(kind\) （如果 \(cnt[i] > 1\) 则不需要更新，\(cnt[i] = 1\) 则 kind++，\(cnt[i] = 0\) 则kind--），通过这种方法，我们可以得到每个区间的答案.但是不难发现，这种方法的时间复杂度达到了惊人的 \(O(mn)\) ，那么有没有什么方法能使复杂度降到 \(o(n \cdot \sqrt{n})\) 呢？因此我们引入“莫队”这个概念.

普通莫队是什么呢？就是对每个查询进行排序，达到降低时间复杂度的目的.那么具体怎么排序呢？
设数组 \(arr\) 的下标为 \(1\) 到 \(9\)，下标 \(1\) 到 \(3\) 为块 \(1\)，下标 \(4\) 到 \(6\) 为块 \(2\)，下标 \(7\) 到 \(9\) 为块 \(3\).假设有以下几个查询：\((7,8),(5,5),(1,9),(4,9),(3,7),(2,3)\)，设区间的左端点为 \(winl\)，右端点为 \(winr\)，排序策略主要有两点 ：

1. \(winl\) 所在的块号，从小到大.
2. \(winr\) 的值从小到大.

排序后查询的顺序为：\((2,3),(3,7),(1,9),(5,5),(4,9),(7,8)\).
PS:\((2,3),(3,7),(1,9)\) 的左端点均属于块 \(1\)，于是根据它们的右端点排序. \((5,5),(4,9)\) 的左端点均属于块 \(2\)，也是根据它们的右端点排序，最后是 \((7,8)\)，因为它左端点属于块 \(3\) 是最大的.
排序完之后，在根据一开始的方法进行窗口滑动即可，时间复杂度为 \(o(n \cdot \sqrt{n})\).

但是再举一个一个例子，设查询为：\((1,6),(3,9),(4,5),(6,9)\) 按照传统方式排序后，他的顺序应该是不变的，但是不难发现从 \((3,9)\) 到 \((4,5)\) 这个跨度是很大的，因此我们需要优化，可以使用“奇偶排序”.具体方式如下：

1. \(winl\) 的块号，从小到大.
2. 块号为奇，\(winr\) 从小到大.
3. 块号为偶，\(winr\) 从大到小.

安排此方法排序后，查询顺序为：\((1,6),(3,9),(6,9),(4,5)\) 这样就能优化不少.

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 1000005;

int n, m;
int a[MAXN];          // 贝壳种类
int cnt[MAXN];        // 当前区间内各颜色出现次数
int ans[MAXN];        // 存储每个询问的答案
int curAns = 0;       // 当前区间不同颜色个数

struct Query {
    int l, r, id, block;
};

// 奇偶排序优化：块号不同按块号，块号相同按右端点升降交替
bool cmp(const Query &x, const Query &y) {
    if (x.block != y.block) return x.block < y.block;
    if (x.block & 1) return x.r > y.r;   // 奇数块 r 降序
    return x.r < y.r;                    // 偶数块 r 升序
}

inline void add(int pos) {
    if (cnt[a[pos]] == 0) curAns++;
    cnt[a[pos]]++;
}

inline void remove(int pos) {
    cnt[a[pos]]--;
    if (cnt[a[pos]] == 0) curAns--;
}

int main() {
    // 快速输入输出
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    cin >> m;
    vector<Query> qs(m);

    // 块大小通常取 sqrt(n)，也可根据 m 调整
    int block = max(1, (int)sqrt(n));

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> qs[i].l >> qs[i].r;
        qs[i].id = i;
        qs[i].block = qs[i].l / block;
    }

    sort(qs.begin(), qs.end(), cmp);

    int curL = 1, curR = 0;   // 初始空区间 [1, 0]

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int l = qs[i].l, r = qs[i].r;
        // 扩展或收缩区间
        while (curL > l) add(--curL);
        while (curR < r) add(++curR);
        while (curL < l) remove(curL++);
        while (curR > r) remove(curR--);
        ans[qs[i].id] = curAns;
    }

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cout << ans[i] << '\n';
    }

    return 0;
}

PS：代码是AI生成的