弹性力学：应力

应力张量

应力\(\sigma\)是个二阶张量，可以表示为：

\[ \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{yx} & \tau_{zx} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} & \tau_{zy} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z} \end{pmatrix} \tag{1} \]

斜截面的应力

物体内一点\(p\)的应力状态为\(\sigma\)，过\(p\)点的斜截面ABC法线方向为\(N\)，方向余弦为\((l,m,n)\)，记该斜面上沿坐标轴方向的应力分量为\(X_N\), \(Y_N\), \(Z_N\)则：

\[\begin{pmatrix} X_{N} \\ Y_{N} \\ Z_{N} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{yx} & \tau_{zx} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} & \tau_{zy} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} \tag{2} \]

记斜截面上全应力为\(S_N\)，正应力为\(\sigma_N\)，切应力为\(\tau_N\)，则:

\[S^2_N = X^2_N + Y^2_N + Z^2_N = \sigma^2_N + \tau^2_N \tag{3} \]

\[\sigma_N = \begin{pmatrix} X_N,Y_N,Z_N \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} \tag{4} \]

主应力

如果某一斜面上只有正应力没有切应力，则把这个正应力叫做主应力，这个斜面叫做主平面，即\(\sigma_N=\sigma_{main}\)，\(\tau_N=0\).
记主平面的方向余弦为\((l,m,n)\)，主应力和方向余弦的求法为：

\[\begin{pmatrix} \sigma_{x} - \sigma_{main} & \tau_{yx} & \tau_{zx} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y}-\sigma_{main} & \tau_{zy} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z} - \sigma_{main} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} = 0 \tag{5} \]

\[l^2 + m^2 + n^2 = 1 \tag{6} \]

上述(5)、(6)式中要求解的是\(\sigma_{main}, l, m, n\)，可以先求行列式得到\(\sigma_{main}\)，再求方向余弦\(l, m, n\)

\[\begin{vmatrix} \sigma_{x} - \sigma_{main} & \tau_{yx} & \tau_{zx} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y}-\sigma_{main} & \tau_{zy} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z} - \sigma_{main} \end{vmatrix} = 0 \tag{7} \]

上面行列式能够求出3个\(\sigma_{main}\)值，按大小顺序记为\(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\)，即\(\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3\)，并且这三个主应力方向是相互垂直的。

主切应力

过一点的任意斜面上的正应力和切应力，随着斜面的方向角变化而变化，如果某一斜面上的切应力取最大值，则这个切应力叫主切应力。

应力不变量

式(7)可以写为：

\[\sigma^3_{main} - I_1\sigma^2_{main} + I_2\sigma_{main} - I_3 = 0 \tag{8} \]

其中\(I_1, I_2, I_3\)叫做第一、第二、第三应力不变量，不变量的意思是坐标系旋转时每个应力分量的值都在变化，但是这三个值是不变的：

\[I_1 = \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z \tag{9} \]

\[I_2 = \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2 \sigma_3 + \sigma_3 \sigma_1 = \begin{vmatrix} \sigma_x & \tau_{yx} \\ \tau_{xy} & \sigma_y \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \sigma_y & \tau_{zy} \\ \tau_{yz} & \sigma_z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \sigma_x & \tau_{zx} \\ \tau_{xz} & \sigma_z \end{vmatrix} \tag{10} \]

\[I_3 = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{vmatrix} \sigma_x & \tau_{yx} & \tau_{zx} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} & \tau_{zy} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z} \end{vmatrix} \tag{11} \]

坐标变换