2026-9第三周
2026-9第三周
1 Introduction
本周主要阅读了LX的几篇文章，是他在美国读博士的两年期间构思的FUZZY CONTROL相关的。
其实过程中，我在理解相当多的新的知识，尝试思考以下几个问题：
- LX的模糊理论是如此爆炸性的启发？
- LX的模糊控制领域的理论推导能力为什么如此厉害？
- LX为什么能在短短两年，收获了其他人可能十年二十年难以达到的论文贡献?
- 真的是导师的帮助吗？还是自己的努力结果？
- 这些对他的人生轨迹有何种改变？
- 这两年的时间，对他的十年、二十年甚至五十年的时间长河中留下的意义？
- 难道只是为了毕业而做的一些事情？
这周还是略读了几篇文章，没有十分精细的去理解里面的推导和定义。这周的阅读清单如下：
- Generating Fuzzy Rules from Numerical Data, with Applications
- Analysis and Design of Fuzzy Logic Controller
- Fuzzy systems are universal approximators
- A fuzzy approach to hand-written rotation-invariant character recognition
- Wang L X, Mendel J M. Back-propagation fuzzy system as nonlinear dynamic system identifiers[C]//[1992 Proceedings] IEEE International Conference on Fuzzy Systems. IEEE, 1992: 1409-1418.
- Wang L X, Mendel J M. Generating fuzzy rules by learning from examples[J]. IEEE Transactions on systems, man, and cybernetics, 1992, 22(6): 1414-1427.
- Fuzzy Basis Functions, Universal Approximation, and Orthogonal Least-Squares Learning
- Stable Adaptive Fuzzy Control of Nonlinear Systems
不过我对其中的两篇进行了比较详细的阅读，慢慢发现，这种小论文的形式，是有固定的规矩的，文章的行文是有一定的顺序和逻辑的。昨天对小论文的主要的intro段，进行了一个简述，可能之后晚上这个intro的写法，之后都会按照这个类似的说明来进行行文。后面的慢慢开展论文的写作，就会有章可循。另外，昨天学习到了一个关于公式的快速写作的方法，利用了latex的方式，配合mathtype可以快速的对公式编写完成。无论是在word、ppt还是visio中都可以进行插入公式。
2 Details
2-1 Generating Fuzzy Rules from Numerical Data, with Applications
这篇文章使用了5个步骤，将模糊理论的模型彻底构建。解决掉之前，不存在统一、普遍的构建模糊系统的方式。综合了数据+专家知识，而不是仅仅有数学，或者仅仅有专家知识。模糊控制是一个综合两者的优点的模式。
通过了TUNK的轨迹模拟控制实验，温度-时间预测实验，证实了仿真后的一项结果：通过5步法的模糊控制系统设计，可以实现不训练模型的控制器，并且实现类似神经网络等训练后的控制器的效果。
核心部分——FAM Bank
通过一个简单例子，我们一起来认识这个方法。
一个2输入，1输出系统。
STEP 1——定义输入、输出空间
每个输入/输出变量都可以定义各自的领域空间，每个空间都有2N+1个区域。
比如这里，x1，N=2；x2，N=3；y，N=2。具体的定义域如下图所示。
STEP2——为数据对产生模糊规则
对每个输入/输出变量对，取最大的隶属度值，作为该数据对的模糊等级。
然后，构建模糊规则。比如：
STEP3——给每个规则赋值等级
使用公式进行计算：
STEP4——构建FAM Bank
我们把所有的规则，计算了等级，则可以构建这个模糊规则表。
STEP5——决定一个从FAM Bank的映射
定义一个最后的结果，用下面的公式，计算可以得到控制输出：
这样的规则里，存在：a growing memory problem 。如果规则越多，数据越多，那么所占用的内存空间会越大。这个是存在的问题。
一种不需要训练的，模糊系统模型。
2-2 Analysis and Design of Fuzzy Logic Controller
FLC——Fuzzy Logic Controller。模糊控制器有诸多的优点。这篇文章的主要是证明FLC能够在紧集上以任意精度逼近任何实值连续函数。
这篇文章行文为一个证明，下面是文章的结构。这篇文章没有仔细深入。
引入FLC
这篇文章，强调的是MISO，即多输入单输出系统，这也是目前存在的很多控制器。比如：压力、温度、速度等。
描述了6个步骤的FLC，然后使用S-W来进行证明。
证明FLC
中间的三章，算是本论文的核心。但是我没有太看懂。
优化的FLC
证明
sub-优化 FLC BP 训练
证明
BP-FLC的一个应用
这个是个仿真结果。
2-3 Fuzzy systems are universal approximators
使用Stone-Weierstrass Theorem证明了模糊系统是可以近似所有的非线性系统。
略读。证明。
2-4 A fuzzy approach to hand-written rotation-invariant character recognition
使用模糊方法来处理手写字体的识别问题。
Step 1：为不同角度旋转的参考手写字符生成清晰集（Crisp Sets）
-
网格划分与特征测量：首先，为给定的参考字符（如 \(a, b, c, d\)）在不同旋转角度（例如 \(0^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}\)）下建立一个 \(n \times n\)（论文中以 \(4 \times 4\) 为例）的格网遮罩（lattice mask）。接着，测量字符在各个小方格（如 16 个小正方形 \(x_1, x_2, \dots, x_{16}\)）中所占的长度或灰度级。
-
生成清晰集：每一个旋转后的图案（pattern）在 16 维空间中对应一个点，该点由各个小方格中的长度分量向量 \((x_1, x_2, \dots, x_{16})\) 组成，从而为每个模式生成一个清晰集（Crisp Set）。
Step 2：将清晰集模糊化（Fuzzify the Crisp Sets）
- 构建隶属度函数：通过为每个分量引入模糊隶属度函数，将 Step 1 中生成的 16 个清晰集进行模糊化。
- 中心与衰减：隶属度函数在清晰集对应分量的值处取得最大度数（即度数为 1），并向两侧递减。这些生成的 16 个模糊集构成了后续分类识别的参考基准（reference fuzzy sets）。
Step 3：确定给定字符对各个模糊集的隶属度（Determine the Degrees to Fuzzy Sets）
-
特征提取：对于需要识别的未知手写字符，同样套用 \(4 \times 4\) 网格遮罩并计算其分量向量 \((x_1, x_2, \dots, x_{16})\)。
-
平均原则（Average Principle）：使用平均原则计算给定字符 \(\underline{x}\) 属于某个模糊集 \(F\)（对应某一特定旋转模式）的度数。公式为所有 16 个分量在对应隶属度函数下的度数的算术平均值：
\[m_F(\underline{x})=\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}m_F^i(x_i) \](注：论文指出，由于需要综合考量整体外形，不能采用会放大极端零值的最小值或乘积原则，因此采用平均原则)。
Step 4：对给定字符进行分类（Classify the Given Character）
基于前一步算出的隶属度，论文提出了两种规则来进行最终的字符类别归属判定（判定其属于 \(a, b, c, d\) 中的哪一个）：
- 平均规则（Average Rule）：先通过平均公式计算给定字符属于某类字符 \(Z\)（包含该字符的 4 个不同旋转模式 \(Z_i\)）的总体度数 \(m_Z(\underline{x}) = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}m_{Z_i}(\underline{x})\)，然后利用最大值判决 \(m_{Z^*}(\underline{x}) = \max_{Z \in [a,b,c,d]} m_Z(\underline{x})\) 确定最终类别 \(Z^*\)。
- 最大值规则（Maximum Rule）：取给定字符对应某类字符的 4 个旋转模式中隶属度的最大值作为该类的代表度数 \(m_Z(\underline{x}) = \max_{1 \le i \le 4}[m_{Zi}(\underline{x})]\)，再通过最大值判决公式得出最终所属类别 \(Z^*\)。
2-5 Back-propagation fuzzy system as nonlinear dynamic system identifiers
提出一种可训练的模糊系统——Back-Propagation Fuzzy System (BP FS)——作为非线性动态系统辨识器，并证明它既能逼近任意连续非线性函数，又能通过反向传播训练快速拟合输入输出对，同时还可以把人类专家的语言规则并入模型中。
这篇也是略读的。具体的文章结构如下：
1 intro
已有的证明，神经网络已可用于非线性系统辨识。之前已经证明了模糊系统能够将紧集上的任何真实连续函数逼近到任意精度。这一结果能够使我们用模糊系统用于非线性系统辨识。
我们开发了一种训练算法，类似于神经网络的反向传播算法，训练模糊系统以匹配所需的输入输出对。开发这种训练算法的关键思想是将模糊系统视为三层前馈网络，并使用链式法则来确定模糊系统输出误差相对于设计参数的梯度。我们表明该训练算法执行错误反向传播过程；因此，我们将配备反向传播训练算法的模糊系统称为“反向传播模糊系统 (BP-FS)。”
而且有优势：因为BP训练算法都是梯度算法，所以良好的初始参数显着加快了收敛速度。BP-FS 相对于 BP FNN 的第二个优势是 BP-FS 提供了一个自然框架，其中将人类语言描述（以 IF-THEN 规则的形式）纳入未知非线性系统。
2 DESCRIPTION AND ANALYSIS O F FUZZY SYSTEMS
介绍了模糊系统
3 BACK-PROPAGATION TRAINING FOR THE FUZZY SYSTEM
公式证明
4 IDENTIFICATION OF NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS USING THE BACK-PROPAGATION FUZZY SYSTEM
解释
5 SIMULATIONS
仿真图形
6 CONCLUSIONS
2-6 Generating fuzzy rules by learning from examples
目的是提出一种把数值数据和人类语言规则统一到同一模糊规则库中的通用方法，并证明这种方法既能用于非线性系统辨识/控制，又具有通用逼近能力；作者还用两个例子展示了它在truck backer-upper 控制和时间序列预测中的效果。
- 统一两类信息：把测量得到的数值数据和专家提供的语言规则放进一个共同框架里。
- 获得可证明的建模能力：证明由该方法构造出的模糊系统能逼近任意连续函数。
- 验证实际效果：通过控制和预测两个例子展示它在某些场景下优于纯神经或纯模糊方法，或至少与神经网络相当。
这篇文章和第一篇相似。
2-7 Fuzzy Basis Functions, Universal Approximation, and Orthogonal Least-Squares Learning
模糊基函数（Fuzzy Basis Functions, FBF）的表示、逼近能力，以及如何用正交最小二乘（OLS）来选出关键基函数，并把它应用到 ball and beam非线性控制系统中。
文章核心内容
| 主题 | 文章写了什么 | 意义 |
|---|---|---|
| 模糊系统的重写 | 把模糊系统表示成一组模糊基函数的线性组合，并指出一个语言型的 IF-THEN 规则可以直接对应一个 FBF。 | 这样就能把模糊规则和数值数据放进同一个统一框架里。 |
| 通用逼近能力 | 文章用 Stone-Weierstrass 定理证明：FBF 的线性组合可以在紧集上任意精度逼近连续函数，也就是具有 universal approximation 性质。 | 说明这种表示不只是经验上可用，也有理论上的逼近保证。 |
| OLS 学习算法 | 文章提出用 OLS 从输入-输出样本中挑选重要的 FBF，比反向传播更像一次性回归，速度更快，也更稳健。 | 解决了如何从大量候选基函数中选出“有用项”的问题。 |
| 融合数值与语言信息 | 文章强调 FBF 的一个优点是：可以把数值型输入-输出对和专家语言规则结合起来。 | 这使模型既能利用数据，也能利用人类经验。 |
| 控制系统应用 | 作者把这套方法用于ball and beam系统，先用已知控制律生成状态-控制对，再用 FBF 插值成控制器；加入少量语言规则后，控制性能更好。 | 证明方法不仅是理论结果，也能用于实际控制设计。 |
这篇也是略读，不懂。
2-8 Stable Adaptive Fuzzy Control of Nonlinear Systems
这篇文章做了自适应模糊系统的分析，是一个开创性的研究。
Why Fuzzy Control?
这里给出来了两个原因：理论和实践。
理论方面：
- As a general rule, a good engineering approach should be capable of making effective use of all the available information. If the mathematical model of a system is too difficult to obtain (this is true for many practical systems), then the most important information comes from two sources: 1) sensors which provide numerical measurements of key variables and 2) human experts who provide linguistic descriptions about the system and control instructions. Fuzzy controllers, by design, provide ,a systematic and efficient framework for incorporating linguistic fuzzy information from human experts. Conventional controllers, however, cannot incorporate the linguistic fuzzy information into their designs. If in some situations the most important information comes from human experts, then fuzzy control is the best choice. 这是一个传统数学控制和模糊控制系统的区别之处，模糊控制系统设计时便考虑了数学知识和专家的语言知识。
- Fuzzy control is a model-free approach; i.e., it does not require a mathematical model of the system under control. Control engineers are now facing more and more complex systems, and the mathematical models of these systems are increasingly difficult to obtain. Thus, model-free approaches have taken on added importance. Conventional control also has some model-free approaches, e.g., nonlinear adaptive control and PID control. Fuzzy control provides yet another model-free approach. 在模型的设计上，模糊控制是一个不用模型的设计方法，并不需要拟合系统模型，这往往耗费很大精力。
- Fuzzy control provides nonlinear controllers, which are well justified by the universal approximation theorem in [19], [23]; i.e., these fuzzy logic controllers are general enough to perform any nonlinear control actions. Therefore, by carefully choosing the parameters of the fuzzy controllers, it is always possible to design a fuzzy controller that is suitable for the nonlinear system under control. 模糊控制器已经被证明是可以在紧密集合上近似任何非线性系统，只要选择合适的参数，模糊控制器是可以控制任何非线性系统。
实践方面：
- It is easy to understand. Because fuzzy control emulates human control strategy, the underlying principle can be easily understood by those who are not control specialists. During the last two decades, conventional control theory has been using increasingly advanced mathematical tools. This is needed in order to solve difficult problems in a rigorous fashion; however, this also results in a diminishing number of practical engineers who can understand the theory. Therefore, practical engineers who are in the front line .of designing consumer products tend to use approaches that are simple and easy to understand. Fuzzy control is just such an approach. 模糊系统的理解上，是非常简单的。因为他是模糊专家来设计的，所以他的规则是明确的语义，一般人也可以理解。但是现在的传统控制模型，越来越复杂，他需要证明其严格性质，数学等工具的知识需要更多，所以这类模型的理解上对于一线工程师是不容易的。
- It is simple to implement. Fuzzy logic systems, which are at the heart of fuzzy control, admit a high degree of parallel implementation. Many fuzzy VLSI chips have been developed which make the implementation of fuzzy controllers simple and fast. 部署简单。甚至可以放在一颗芯片上。
- It is inexpensive to develop. From a practical point of view, the development cost is one of the most important criteria for a successful product. Because fuzzy control is easy to understand, the time necessary to learn the approach is short; i.e., the "software cost" is low. Also, because fuzzy control is simple to implement, the "hardware cost" is also low. What is more, there are software tools available for designing fuzzy controllers. Thus, fuzzy control is an approach that has a high performance/cost ratio. 开发的成本不高。该系统理解起来简单，那么开发起来就不难。软件工具也不需要复杂的。
Why Adaptive Fuzzy Control?
自适应模糊控制的需要：
Fuzzy controllers are supposed to work in situations where there is a large uncertainty or unknown variation in plant parameters and structures. Generally, the basic objective of adaptive control is to maintain consistent performance of a system in the presence of these uncertainties. Therefore, advanced fuzzy control should be adaptive.
自适应模糊控制的定义：
What is adaptive fuzzy control?
Roughly speaking, if a controller is constructed from adaptive fuzzy systems (an adaptive fuzzy system is a fuzzy logic system equipped with a training (adaptation) algorithm), it is called an adaptive fuzzy controller.
An adaptive fuzzy controller can be a single adaptive fuzzy system or can be constructed from several adaptive fuzzy systems.
参数自适应。
直接和间接自适应
In the conventional adaptive control literature, adaptive controllers fall into two categories [ 121: direct and indirect. In direct adaptive control, the parameters of the controller are directly adjusted to reduce some norm of the output error between the plant and the reference model. In indirect adaptive control, the parameters of the plant are estimated and the controller is chosen assuming that the estimated parameters represent the true values of the plant parameters.
当然，这里还是不太懂。之后有空再详细看看。
模糊控制器中直接和间接自适应则是依靠IF-THEN规则。
More specifically, direct adaptive fuzzy controllers use fuzzy logic systems as controllers; therefore linguistic fuzzy control rules can be directly incorporated into the controllers.
On the other hand, indirect adaptive fuzzy controllers use fuzzy logic systems to model the plant and construct the controllers assuming that the fuzzy logic systems represent (approximately) the true plant; therefore fuzzy IF-THEN rules describing the plant can be directly incorporated into the indirect adaptive fuzzy controllers
直接自适应模糊控制器使用模糊逻辑系统作为控制器；因此，语言模糊控制规则可以直接合并到控制器中。另一方面，间接自适应模糊控制器使用模糊逻辑系统对平台进行建模并构建控制器，假设模糊逻辑系统代表（大约）真实平台；因此，描述平台的模糊 IF-THEN 规则可以直接合并到间接自适应模糊控制器中。
定义：
- adaptive fuzzy controller：If an adaptive fuzzy controller uses fuzzy logic systems as controllers, it is called a direct adaptive fuzzy controller.
- direct adaptive fuzzy controller： A direct adaptive fuzzy controller can incorporate fuzzy control rules directly into itself.
- indirect adaptive fuzzy controller：If an adaptive fuzzy controller uses fuzzy logic systems as model of the plant, it is called an indirect adaptive fuzzy controller. A indirect adaptive fuzzy controller can incorporate fuzzy descriptions about the plant (in terms of fuzzy IF-THEN rules) directly into itself.
OK，第二章是一些定义的。我们挑战第三章，这个是经典的一些模糊系统的介绍。
这篇文章介绍的模糊控制系统如下图。
然后介绍了IF-THEN规则，以及规则的交、并，最大、最小等。
模糊化的公式
去模糊化的公式
然后是几个证明，公理。
第4节，算是本论文的核心。
是基本的构造自适应模糊控制器的想法。
浙公网安备 33010602011771号