9月第一周_fuzzy

开学的第一周，算是正式踏入博士修炼路程，我给自己找了一个方向——FUZZY，并且认识了Zadeh这个国际科研大师。他开创了Fuzzy理论，并且用自己的后半生发展该理论。

这周的最开始是从google schlor上搜索，Zadeh的相关文章就涌现出来。Fuzzy理论正式提出是1965年，是发表了一篇名为Fuzzy Set的文章。我利用了google schlor这个工具，把Zadeh的一些核心文章理出来，并且按照时间的顺序写在word里面，准备一篇一篇翻阅。

当然，按照方的理论，我这段时间应该是在做科研探索——鸟瞰的阶段，其实最后的方向不一定是哪个。说是鸟瞰，其实是有意识地理解，这个方向是怎么建立、发展和应用。只有度过了鸟瞰阶段，然后深入公式、理论，并且接触到一般人不会理解的程度，这个鸟瞰才算完成。这样，我对这个领域才有了一个基础性的思维建立。

说完了这一步的认识思路，接下来其实我要回顾我这周看了哪些文章，以及主要的思想吸收程度。

一、Fuzzy Sets

Zadeh的思想是非常理论的，我能从他思考完的结果——Fuzzy Set这篇Paper中认识到，我和这位大师在理论上的差距。他不厌其烦，一笔一画，勾画出来了一个发展60多年的模糊理论领域。“大师都怀有一颗学徒的心”，大概如此。

从模糊理论的建立来看，Zadeh其实有相当久的思考：系统理论上，状态方程中，他都有思考。数据往往是模糊的数据，而非0和1能够完全替代的。每一个概念，都可能是不精确（impictive)的，所以，Zadeh发现了这种情况，并且从可能性、概率的角度出发，给Fuzzy Set定义，并且在概率和模糊的两者进行了区别。这个步骤，是关键的一步。在大师的眼中，我们一定是要区别出，什么是概率，什么是模糊。模糊不是概率，模糊是一种关系的不准确度的描述。

模糊集合的概念，定义，基本性质，是类比数学中的集合来的：交、并、补等……这是类似的定义。

然后，隶属度（the degree of membership)的定义，简单运算。

隶属度的一些基本性质和概率的一些定义有些similar，这个可能也是参考了现有的定义。核心的是，Zadeh在本文中，提出的隶属度函数，表示了一个确定事件的相关等级。下面是两种典型的隶属度函数的形式。

二、Probability measures of fuzzy events

这篇文章，其实从Fuzzy Sets是非常顺利想到的。概率事件的定义，类比到模糊事件，然后进行了一类的总结。

这篇文章定义了模糊事件、基本的运算公式、模糊事件的概率运算公式和条件概率、统计量。

其实这篇文章可能是之后给我最大影响的一篇。

三、A DECISION-MAKING IN A FUZZY ENVIRONMENT

这篇是Bellman和Zadeh合作的paper。

在一个模糊事件里，怎么做决策？

这篇paper的前两章，回顾了Zadeh的模糊理论。因为两位作者都是系统理论的大师，所以这篇paper有很多地方是从系统角度来看的。

Cpt-3 模糊目标、限制和决策

这一节解释了模糊目标、模糊条件和模糊决策三者。

• 模糊目标：不是“必须等于某个值”，而是像“x 应显著大于 100” 或 “x 大约等于 5” 这样，允许程度不同的满足。

• 模糊约束：不是 “严格落在区间内” ，而是像 “x 大约在 内” 或 (u_t) 近似小于等于 1” 这样的约束。

• 模糊决策：把目标和约束合成一个关于备选方案的模糊集合；如果多个目标/约束冲突，就通过该集合的核心（core）或最大隶属度点来选决策。

简单来讲：

• 模糊目标 = 想达到的方向，但不是“必须精确等于某值”；

• 模糊限制 = 允许“近似满足”的边界；

• 模糊决策 = 在目标和限制共同作用下，选出最合适的方案。

1) 模糊目标：不是硬指标，而是“满足程度”

模糊目标：可以用模糊集合来刻画的目标。用一个隶属度函数可以来表示：

• 若 \mu_G(x)=1：完全满足目标

• 若 \mu_G(x)=0.6：部分满足

• 若 \mu_G(x)=0：几乎不满足

举例说明：“ A要明显大于 100"，那么：

• x=105 可能只是略微满足，\mu_G(x)=0.1

• x=150 可能是更高程度满足，\mu_G(x)=0.4

这体现的是“程度”，不是非黑即白。所以描述的目标也是需要考量的。

2) 模糊限制：不是严格区间，而是“近似可接受”

对于环境中的限制也可以是模糊的。举例说明：限制是“x 大约在某个范围内”：

• 落在中心区域：\mu_C(x) 高

• 靠近边缘：\mu_C(x) 中等

• 远离范围：\mu_C(x) 低

所以它不是“必须在/不在”的硬边界，而是越接近越好。

3) 模糊决策：把目标和限制合在一起选方案

决策可以看成目标与约束的交集。同时满足模糊目标和模糊限制的部分，就是决策的范围，当然，这个范围也是模糊的。

一个常见写法是： \mu_D(x)=\min\big(\mu_G(x),\mu_C(x)\big) 其中：

• \mu_G(x) = 目标满足度

• \mu_C(x) = 限制满足度

• \mu_D(x) = 综合后的决策可接受度

 

一个典型的例子：

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候选值 x	\mu_G(x)	\mu_C(x)	\mu_D(x)=\min(\mu_G,\mu_C)
80	0.2	0.9	0.2
110	0.7	0.8	0.7
140	0.9	0.4	0.4

那么最优决策是 x=110，因为它在“目标”和“限制”之间取得了最好的平衡。这个例子与文中“目标与约束共同决定可执行选择”的思路一致。

Cpt-4 多过程决策步骤

一个问题拆成“多步连续决策”，每一步先看当前状态，再选动作，再进入下一步；如果目标或约束带有模糊性，就用隶属度来表示“满足到什么程度”

1) 基本结构

多阶段决策可以写成： s_{t+1}=f(s_t,a_t) 意思是：当前状态 (s_t) 加上 当前动作 (a_t)，会产生 下一状态 (s_{t+1}) 。这也是动态规划里“逐步往后推”的核心 。

2) 为什么要分阶段

很多现实问题不能一次决定完，而是要“做一步、看结果、再决定下一步”，例如库存、运输、医疗和资源分配 。当状态空间很大时，经典动态规划会遇到“维度灾难”，所以常用近似动态规划或价值函数近似。

例子：库存补货

• 第1步状态：仓库里有 10 件货

• 第1步动作：决定进货 5 件

• 第1步结果：如果当天卖掉 8 件，下一步状态变成 7 件左右

• 第2步再决定：根据新的库存继续补货或不补货

   

例子：分阶段选方案

假设每一步都要选一个动作 (a_t)，并且要同时考虑目标和约束，可以写成： \mu_t(a)=\min(\mu_{G,t}(a),\mu_{C,t}(a)) 再选： a_t^*=\arg\max_a \mu_t(a) 这表示：每一步都选“综合满足度”最高的动作。

核心思路是：分步决策 + 状态递推 + 逐步优化”，在模糊环境下则把目标和约束都改成“满足程度”来处理。

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哈哈，其实我还是比较懒……下面两章就不看了。

在4章时，分析了在一个模糊环境中的随机系统。

在第5章时，分析了在不明确终止时间的系统。

 

四、Fuzzy Logic

这篇是模糊逻辑的一个综合，整篇的论述更像一篇“教程”，举例甚多，也是我们之前经常看到的举例。

逻辑学的一篇，和Fuzzy Sets里面的不少理论是一样的。

五、A computational approach to fuzzy quantifiers in natural languages

这篇文章，主要介绍了一个概念，模糊量词。自然语言中，很多是模糊描述的，尤其在量词上。这导致了自然语言的数学化困难，对一个语义，我们只能描述核心词，对量词的模糊语义无法进行建模。那么zadeh的思路是，能不能将fuzzy set的思路延续，我们来对自然语言的处理，尤其在量词上，进行讨论。

其实这篇文章中一些概念，和后面写的fuzzy logic中表述的是一致的。