[Data Structure & Algorithm] 有向无环图的拓扑排序及关键路径

基本名称

• 有向无环图 - DAG (Directed Acycline Graph)
  • 如果图的邻接矩阵中，对角线以上（或以下）均为零，则说明该有向图为无环图；反之，不一定成立
• 顶点表示的活动网 - AOV网 (Activity On Vertex Network)
  • 弧上没有权值
  • 通常用于表示流程图
• 弧表示的活动网 - AOE网 (Activity On Edge)
  • 弧上的权值 - 活动持续的时间
  • 通常用于估算工程完成的时间
  • 正常情况下（无环），图中只有一个入度为0的点（源点）和一个出度为0的点（汇点）
• 弧尾 - 在结点A指向结点B的弧中，结点A为弧尾
• 图中的结点数量 - n; 图中的弧数量 - e

拓扑排序 - 基于AOV网

• 分类
  • 全序 - 拓扑有序
    • 集合中所有结点都可比较（经过零个或多个结点后可连接）
  • 偏序 - 只有部分结点是可比较的
• 可以求拓扑排序的图中不存在环
• 基本思想
  1.遍历图中没有前驱（入度为0）的结点
  2.选择并输出一个没有前驱的结点，循环与之相连的结点
  3.删除该结点，和以该顶点作为弧尾的弧
  4.如果下一结点为空，则重复2，3，直到所有结点均已全部输出（如果图中还存在有前驱的结点，则说明图中存在环）
• 具体实现
  • 结点结构 - 数据域（结点的值）|链域（指向下一个结点）|数据域（结点的入度）
  • 引入栈
    • 初始化 - 遍历所有结点，保存所有入度为0的结点
    • 如果在输出结点并删除弧之后，有新增的入度为0的结点，再压入栈中
  • 时间复杂度O(n+e)

关键路径 - 基于AOE网

• 定义
  • ve(i) - 事件i的最早开始时间
  • vl(i) - 事件i的最晚开始时间
  • 关键路径 - 长度最长的路径
  • 关键活动 - 关键路径上的所有活动，ve(i) = vl(i)
• 求解关键路径需要在拓扑有序和逆拓扑排序的前提下进行，即图中也不能存在环
• 基本思路
  1.从源点vⁱ出发，令ve(i) = 0，按拓扑有序求ve(j)，取路径中的最大值
  2.从汇点v_n出发，在汇点上ve(n) = vl(n)，按逆拓扑有序求vl(j)，取路径中的最小值
  3.所有ve(i)=vl(i)的点都是关键活动，其相连即为关键路径
• 具体实现
  • 逆拓扑有序 - 将拓扑排序的序列存储在栈中，再将栈中元素弹出，即可得到逆拓扑排序
• 什么情况下，提高关键活动，才能对工程的进度产生影响
  • 提高关键活动可能导致关键路径的改变，所以必须在关键路径不变的前提下
  • 关键活动必须在所有关键路径上