乘法逆元

乘法逆元

1. 什么是乘法逆元
   如果\(ax \equiv 1 \pmod{p}\),且\(gcd(a,p)=1\)（\(a\)与\(p\)互质），则称\(a\)关于模\(p\)的乘法逆元为\(x\)。（感觉就是\(a\)的倒数）
2. 乘法逆元用来干什么
   模运算符合以下分配律：

\[(a+b) \bmod p = (a \bmod p + b \bmod p)\bmod p \]

\[(a-b) \bmod p = (a \bmod p - b \bmod p)\bmod p \]

\[(a*b) \bmod p = (a \bmod p + b \bmod p)\bmod p \]

\[(a \oplus b) \bmod p = ((a \bmod p) \oplus b)\bmod p \]

       但是取模运算不符合除法分配律，于是就要先求分母的倒数（不严谨，但是这里可以这么理解），然后再用乘法去算。
3. 如何求乘法逆元
结合费马小定理

\[a^{p-1} \equiv 1 \pmod p \]

代入得

\[ax \equiv a^{p-1} \pmod p \]

\[x \equiv a^{p-2} \pmod p \]

然后用快速幂算一下就好
4. 没什么例题，但是要提一下洛谷P3811
这个题用快速幂去做，时间复杂度为\(O(nlogn)\)，题目要求O(n)，就要去推递推式：
我们知道

\[1^{-1} \equiv 1 \pmod p \]

设\(p = k * i + r\)，也就是\(k\)是\(p/i\)得商，\(r\)为余数。
在\(mod\ p\)的意义下

\[k * i + r \equiv 0 \pmod p \]

然后乘上\(r^{-1}\)，\(i^{-1}\)后得

\[i^{-1} \equiv -k*r^{-1}\pmod{p} \]

将\(k\)换掉（\(1 < r < i < p\)）：

\[i^{-1} \equiv \lfloor \frac{p}{i}\rfloor * (p \bmod i)^{-1} \pmod{p} \]

然后就得到了\(1 \sim n\)的逆元

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3 * 1e6 + 10;
int f[N];
int n,p;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&p); 
	f[1] = 1;
	puts("1");
	for(int i = 2;i <= n;i ++ )
	{
		f[i] = (long long)(p - p / i) * f[p % i] % p;
		printf("%d\n",f[i]);
	}
	return 0;
}

下一个坑应该是拉格朗日插值（