带权中位数

描述

有若干个排列在一条直线上的点pi，每个点上有ai个人，找出一个人使得所有人移动到这个人的位置上的总距离最小。

$设dist[x]为所有点到Px的总距离$
$$dist[x]=\stackrel{x\sum }{i=1}{a}^i(P^x-P^i)+\stackrel{n\sum }{i=x}{a}^i(P^i-P^x)\text{1◯}dist[x+1]=\stackrel{x+1\sum }{i=1}{a}^i(P^{x+1}-P^i)+\stackrel{n\sum }{i=x+1}{a}^i(P^i-P^{x+1})\text{2◯}$$
$\text{2◯}-\text{1◯}=\stackrel{x+1\sum }{i=1}{a}^i(P^{x+1}-P^i)+\stackrel{n\sum }{i=x+1}{a}^i(P^i-P^{x+1})-\stackrel{x\sum }{i=1}{a}^i(P^x-P^i)-\stackrel{n\sum }{i=x}{a}^i(P^i-P^x)=\stackrel{x\sum }{i=1}{a}^i[(P^{x+1}-P^i)-(P^x-P^i)]+\stackrel{n\sum }{i=x+1}{a}^i[(P^i-P^{x+1})-(P^i-P^x)]=\stackrel{x\sum }{i=1}{a}^i(P^{x+1}-P^x)+\stackrel{n\sum }{i=x+1}{a}^i(P^x-P^{x+1})=\left(\stackrel{x\sum }{i=1}{a}^i-\stackrel{n\sum }{i=x+1}{a}^i\right)(P^{x+1}-P^x)状态转移方程：dist[x+1]=dist[x]+(P^{x+1}-P^x)\ast (x及其之前的人数-x+1及其之后的人数)若已知dist[0]可得到所有点到任意目标点的总距离$