一个数学题

今天在网上看见的一个数学题，很有意思：

平面上有100个点，任意三点都不共线，试证明：每三点组成的三角形中至多有70%是锐角三角形。

这个题目仿佛让自己回到了当初中学时没有捣腾数学竞赛的日子。自己太菜，当时很多题不会做，如今这个也不会…好在网上有答案，记录之。

证这个题目可以先证一条引理。（自己对引理这种东西最深恶痛绝了！--！当初直接让我证这个引理不就完了嘛~！）

引理：平面上有5个点，任意三点都不共线，证明：所组成的10个三角形中至少有3个是非锐角三角形。

这个引理如果能够得到证明的话，那么100个点中选取5个点一共有C(100,5)中取法，每种取法对应至少三个非锐角三角形，对于潜在的非锐角三角形，最多重复计算C(97,2)次，所以非锐角三角形至少有C(100,5)*3/C(97,2)个，再除以三角形总数C(100,3)，计算得所占比例至少为30%。原命题得证。

下面证明引理：

考虑5个点A,B,C,D,E形成的凸包进行分类讨论：

1. 如果凸包是三角形，那么不妨设三角形凸包由ABC形成，对于DE，每个点至少能够形成两个非锐角三角形。

2. 如果凸包是四边形，那么类似的，四边形的四个角至少有一个是非锐角，另外，四边形内部的那个点肯定在某个三角形内，利用1这样至少又有两个非锐角三角形。

3. 如果凸包是五边形，那么五边形的五个内角中至少有两个是非锐角，在两个非锐角相邻和不相邻的情况下分别如图示做对角线，这样得到一个四边形，肯定还有一个非锐角。

引理得证。