SAM 学习笔记

一、Parent Tree 和 SAM 的基本结构

parent tree 和 SAM 共用节点，每个节点代表 endpos，parent tree 是一棵树，SAM 是 DAG。

parent tree 向儿子走相当于往前加字符，SAM 上向儿子走相当于往后加字符。

SAM 上一条路径与字符串的所有本质不同的子串一一对应，路径的终止节点代表了该子串的所有出现位置。

代码中 fa 记录 parent tree 上的父亲，ch 记录 SAM 上的儿子。

二、endpos 的含义

endpos 是一个集合，是一个由子串结束位置构成的集合。endpos 大小表示这些字符串的出现次数，我们设 \(f_u\) 表示节点 \(u\) 的 endpos 集合大小。

在 parent tree 上， \(\sum f_{son_u} \leq f_u \leq \sum f_{son_u}+1\)，且父亲的 endpos 一定包含儿子的 endpos。

endpos 大小“丢失”问题：指父亲的 endpos 中某个结束位置在所有儿子中均未出现。这个丢失的串一定是前缀。

解释：parent tree 向下走表示往前添加字符，前缀无法在前面添加字符，所以产生丢失。

丢失发生的位置：叶子节点以及其他包含前缀串的节点。

叶子节点一定代表前缀。

三、endpos 的子串长 len

如果仅仅知道子串的末尾位置，不足以让我们知道子串的内容，还需要知道子串的长度，所以我们记录 len。

len 表示该节点记录的所有子串中，最长子串的长度。parent tree 上的 len[fa]+1 为该点的最短串长度。

SAM 上儿子节点的 len 至少为父亲节点 \(+1\)，因为任何一条到达父亲的路径都能通过添加一个字符到达儿子，而儿子的父亲可能有多个（因为 SAM 是 DAG）。

为何 len[fa]+1 为该点的最短串长度？

反证，如果不是最短，那么长度为 len[fa]+1 的串将不属于任何一个 endpos，不合理。

四、构建 SAM

【模板】后缀自动机（SAM）

核心思想是维护 SAM 的性质，即 parent tree 上的父亲，SAM 上的儿子，每个节点的最长 len。

代码中根为 \(1\)，根代表空串。

设 \(n\) 为插入新的字符后字符串的长度，\(x\) 为插入的字符。

Part 1 找到 endpos 被修改的节点

除新建节点外，第一个 endpos 被修改的节点，就是新建节点的父亲。

//lst 表示 endpos 为 n-1，len 为 n-1 的节点，即子串[1,n-1]的节点。
//now 新建的节点
int p=lst;
int now=lst=++tot;len[now]=len[p]+1;
while(p&&!ch[p][x]) ch[p][x]=now,p=fa[p];
if(!p) fa[now]=1;
else{
  //////
}

新建：当我们新添加一个字符后，我们得到一个 endpos 为 \(n\)，len 最长为 \(n\) 的节点。

跳父亲：之后我们从节点 \([1,n-1]\) 开始在 parent tree 跳父亲，这等价于不断跳更短的后缀，直到找到一个存在儿子 \(x\) 的节点，设其为 \(u\)。

终止：此时 \(u\) 的 endpos 集合中应当加入 \(n\) 这个位置，我们找到了 endpos 被修改的节点。

修改：如果跳到了根，说明前面不存在一个 endpos 会加入 \(n\) 的节点，那么它的父亲一定是根，因为只有根的 endpos 包含了 \(n\)；

跳到了根代表的更多含义：

该字符在字符串中第一次出现，因为如果不是第一次出现，必然存在一个非根节点的 endpos 发生改变，与事实相违。

新建的节点 \(now\) 代表了所有后缀子串，因为它的父亲为根，根的 len 为 \(0\)。

Part 2 不分裂节点修改 endpos

if(!p) fa[now]=1;
else{
  int q=ch[p][x];
  if(len[q]==len[p]+1){
    fa[now]=q;
    return;
  }
  //////
}

我们能否直接把 \(n\) 加入，取决于 \(q\) 节点包含的子串是否与 \(p\) 节点添加 \(x\) 字符后的子串完全相同，如果相同，就可以直接将 \(n\) 加入 \(q\) 的 endpos，然后修改 \(now\) 的父亲为 \(q\)。

Part 3 分裂节点修改 endpos

int q=ch[p][x];
if(len[q]==len[p]+1){
  //////
}
int nq=++tot;
memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
fa[nq]=fa[q];len[nq]=len[p]+1;

fa[q]=fa[now]=nq;
while(p&&ch[p][x]==q)ch[p][x]=nq,p=fa[p];

分裂节点：是因为节点 \(q\) 中长度 \(\leq\) len[p]+1 的部分 endpos 中添加了 \(n\)，而长度更大的未加入，所以分裂节点，维护 endpos 的性质。

新建 \(nq\) 节点：在它的 endpos 中加入 \(n\)，由于 parent tree 上满足父亲 endpos 包含儿子。所以父子关系可表示为 \(q\rightarrow nq\)，\(now \rightarrow nq\)。

跳父亲：\(p\) 的一些祖先仍然指向 endpos 不含 \(n\) 的节点 \(q\)，我们需要加入 \(n\)，只需将它们的儿子修改为 \(nq\) 即可。

Part 4 一些现象

SAM 上许多节点 endpos 的修改是隐式的，比如所有 \(nq\) 的祖先，但是它们包含后代 \(nq\)，所以就隐式添加了。我们只有在必要时，才去修改 endpos。

五、求 endpos 的大小

因为丢失 endpos 的一定是包含前缀的节点，所以直接在新建前缀节点的让它的点权 \(+1\)，那么一个点的 endpos 大小就是子树内的点权和。

具体可参见模板题。